Diez hechos matemáticos sorprendentes

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Fractal Grain

En 10 Surprising Mathematical Facts Sean Li hace un repaso a algunas de las cuestiones matemáticas que más nos sorprenden por su carácter paradójico, alejado de la intuición o misterioso – que de todo hay.

He aquí un repaso rápido (y enlaces a sitios en las que ya hemos hablado de estos curiosos hechos).

  1. La paradoja del cumpleaños. ¿Cuánta gente hace falta en un grupo para que la probabilidad de que dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaños (día y mes) sea mayor que el 50 por ciento? La sorprendente respuesta es 23.
  2. El conjunto de Mandelbrot. Justo ayer hablábamos del más famoso de los fractales, que tiene su origen en la fórmula recursiva z -> z² + c.
  3. La paradoja Banach-Tarski. Cómo dividir una esfera en ocho partes y reconstruir con ellas luego dos esferas iguales a la original. Increíble pero cierto (matemáticamente).
  4. El Problema de Monty Hall. Una cuestión de lógica y probabilidad: «Supón que estás en un concurso, y se te ofrece escoger entre tres puertas: detrás de una de ellas hay un coche, y detrás de las otras, cabras. Escoges una puerta, digamos la 1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de las puertas, abre otra, digamos la 3, que contiene una cabra. Entonces te pregunta: ¿No prefieres escoger la nº2? ¿Es mejor para ti cambiar tu elección inicial?» La respuesta es que aunque casi todo el mundo piensa que da un poco igual o que no se debe cambiar.
  5. El cuerno de Gabriel. Una figura geométrica de superficie infinita pero volumen finito. ¡Nunca puedes terminar de pintarlo!
  6. El problema de Basilea. Viene a decir que 1 + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 1/5² + … = π²/6. Lo resolvió Euler, y el resultado es cuando menos inesperado (¿qué pinta π ahí?)
  7. El Teorema de la imposibilidad de Abel: «no pueden resolverse por radicales las ecuaciones polinómicas generales de grado igual o superior a cinco». Hasta cuarto grado sí que se puede (fácil no es) pero sorprende que más allá no se pueda, incluye aunque sea mucho más complicado.
  8. Hay muchos tipos de infinitos. Algo que descubrió George Cantor y que hace que cuando aparecen «infinitos» en cálculos y otros conceptos hay que ser muy cuidadoso al tratarlos. El vídeo de Vi Hart del enlace es toda una joya para comprenderlo mejor.
  9. Los teoremas de incompletitud de Gödel, uno de los trabajos de la que han calificado como «la mente más maravillosa del siglo XX». El primero de ellos viene a decir que «bajo ciertas condiciones, ninguna teoría matemática formal capaz de describir los números naturales y la aritmética con suficiente expresividad, es a la vez consistente y completa». Una especie de «esta frase es falsa» pero a lo bestia.
  10. El último teorema de Fermat, que básicamente dice que xn + yn = zn no tiene soluciones con valores enteros cuando n > 2. (Cuando n=2 es el famoso teorema de Pitágoras). La historia de cómo se demostró que es cierto es tan apasionante como enrevesada.

Estas interesantes listas nos vienen muy bien para repasar qué temas hemos tratado alguna vez en el blog y cuáles no. Algunos como lo del teorema de imposibilidad de Abel seguramente se nos va de las manos, y de otros como el problema de Monty Hall se ha hablado tanto desde que hace décadas que seguramente sería un poco repetitivo. Pero entre el resto había algunas joyitas realmente curiosas. ¡Siempre se aprende algo!

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