Cómo dividir equitativamente una tarta entre tres personas (y que nadie se queje)

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Este problema matemático sobre cómo repartir algo «con justicia» se refiere a las particiones equitativas de una tarta, pero puede aplicarse a muchas otras situaciones. Tiene un poco de teoría de juegos, un poco de lógica y un poco de matemáticas básicas, así que cualquiera puede entenderlo. Aunque no es trivial.

La versión simplificada del problema es algo que muchas veces se enseña a los niños: si A y B discuten a la hora de dividir equitativamente un tarta, galleta, bocadillo o «algo», la regla es sencilla:

  1. A divide la tarta en dos partes que considera iguales
  2. B elige la parte que prefiera

De este modo por pura lógica ambos estarán contentos: A ha dividido la tarta como considera justo (así que no puede quejarse) pero B tiene la opción de elegir el trozo que prefiere de todos los que existen (así que tampoco puede quejarse). Justo lo contrario de aquello de «el que parte reparte y se queda con la mejor parte. Así que todos contentos. Al menos en teoría.

Hay que mencionar –como mucha gente sabe– que en la práctica suele ser más desafortunado ser A porque no siempre es fácil dividir algo «exactamente en dos mitades equitativas»; también puede suceder que la tarta o bocadillo sean irregulares y tengan más relleno en un trozo que en otro, o incluso otros extras (quizá más trozo de chocolate o una guinda). Pero también es interesante que (casi siempre) se puede aplicar la misma idea a divisiones como herencias o bienes en caso de repartos de empresas o divorcios. La regla sigue siendo válida: A hará todo lo posible en pos de la «justicia» pues al ser B quien tiene la opción de elegir si no son realmente equitativas A acabe perdiendo.

¿Qué sucede cuando hablamos de tres trozos? La cosa se complica. A, B y C deben realizar un proceso de cortes y elecciones pero la forma de hacerlo no es trivial.

Tal y como explica la doctora Hannah Fry en el vídeo de Numberphile el proceso comienza con A repartiendo la tarta en tres trozos, B eligiendo sus dos favoritos cortando otro trozo de uno de ellos para «igualarlos», C eligiendo su favorito y B quedándose con el otro. Como queda un pequeño trozo libre se vuelve a repetir el proceso de forma ligeramente diferente (eligiendo en orden inverso), de modo que o bien A se queda con un trozo extra a añadir a lo que ya consideraba equitativo mientras algo similar les sucede a B y C. Más contentos imposible.

El proceso puede ampliarse para cualquier número de personas entre las que repartir, aunque el número de cortes crece exponencialmente, de modo que tampoco es que sea muy práctico. Para esos casos mejor elegir un árbitro imparcial so pena de no acabar repartiendo átomos de tarta.

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