¿A qué horas se cruzan exactamente las manecillas de un reloj?

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El profesor Cliff Stoll explica en este vídeo de Numberphile la solución a un problema clásico: calcular en qué momentos exactos se solapan las manecillas de un reloj al cabo de una vuelta completa a partir de las 12:00.

A las 12:00 las manecillas se solapan por definición. Cuando es la 01:00 el minutero ha vuelto a la posición de las 12 pero la manecilla horaria ya está en el 1. Así que el minutero debe recorrer ese pequeño tramo de «cinco minutos»… Pero eso hará moverse un poco a la manecilla horaria durante esos cinco minutos, así que…

Tras una primera pensada se ve que la solución quizá no es tan obvia como parece; tras la segunda pareciera que el problema es como la paradoja de Aquiles y la tortuga a la que tantas vueltas le han dado filósofos, lógicos y matemáticos desde Zenón de Elea a nuestros tiempos:

Cuando la manecilla de los minutos –más rápida– va alcanzar a la de las horas, que es más lenta resulta que a pesar de esa lentitud también se habrá movido un poquito. Y en lo que el minutero recorre ese poquito, la manecilla horaria se habrá movido otro poquito de poquito. Así que, ¿Cómo alcanza realmente una manecilla a la otra recorriendo una secuencia infinita de tramos, aunque sean cada vez infinitamente más pequeños? ¿Es imposible que se solapen? ¿Es un engaño a nuestros sentidos?

El problema tiene una solución directa y ruda, de la que sólo hay que percatarse como bien explica el profesor¹. También se le pueden dar muchas más vueltas y utilizar largas y complicadas fórmulas. Este es quizá un buen ejemplo de cómo a veces pensar demasiado perjudica en la búsqueda de una solución, que quizá es más simple de lo que parece – además de obvia, porque todos hemos visto cruzarse a las manecillas del reloj.

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Solución: En una vuelta completa de 12 horas basta contar que las manecillas de las horas y los minutos se cruzan exactamente once veces y siempre tardan lo mismo. De modo que se cruzan cada 12/11 horas = 65,45… minutos = 1 hora 5 minutos y 27,2727… segundos.

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