Apuntes de Optica Fisica, Universidad de Barcelona, ebook

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Les dejo el libro en formato pdf y tambien se los copie y pegue directamente en la pagina (sin las imagenes) de esta forma lo podran “hojear” sin necesidad de bajar el archivo y ver si les interesa, luego con el pdf podran decidir si comprar o no el libro.

Personalmente no soy fanatico de los ebooks, pero siempre que los baje me ayudaron a decidir si comprarlos o no a los libros completos.

– Como siempre digo – Si hay alguna queja sobre la subida de este libro, que me parece que deberia ser completamente publico para decidir si comprarlo o no, y en especial un libro de divulgacion cientifica como este deberia ser completamente abierto a todo el publico.

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Y a continuacion el libro completo en español sin imagenes:

Apuntes de ´ Optica F´ısica
Artur Carnicer e Ignasi Juvells
Universitat de Barcelona
Departament de F´ısica Aplicada i ` Optica
8 de enero de 2003
Indice General

1 Óptica Geométrica 7

1.1 Óptica Geométrica Paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Postulados de la Óptica Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Principio de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Conceptos. Convenio de signos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.4 El Invariante de Abbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.5 Aumentos. Planos focales y principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.6 Ley de las lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.7 Sistemas compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.8 Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.9 Formación de imágenes en una lente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.10 Formación de imágenes en un espejo esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.11 Limitaciones de luz y campo en sistemas ópticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Instrumentos de proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1 Introducción a los instrumentos de proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.2 El ojo humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 La cámara fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2.4 Objetivos fotográficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.5 Sistemas de iluminación de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3 Telescopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.2 Anteojo astronómico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3 Anteojo de Galileo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.4 Anteojo terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.5 Telescopios de espejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Microscopios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.1 La lupa. El objetivo del microscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4.2 El microscopio compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Óptica Electromagnética 31

2.1 Ondas electromagnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.1 Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1.2 La ecuación de ondas. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1.3 Energía. Vector de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3

4 ÍNDICE GENERAL

2.2.1 La elipse de polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Polarización: casos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Polarizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3 Propagación, reflexión y refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1 Deducción de las leyes de la Óptica Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2 Fórmulas de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.3 Análisis de los coeficientes de transmisión y reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.4 Factores de transmisión y reflexión en intensidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.5 Estudio de la Reflexión Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.4 Óptica de medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1 Propagación en medios conductores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.5 Óptica de medios anisótropos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.1 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.2 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5.3 Medios uniaxiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.4 Láminas retardadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3 Interferencias 57

3.1 Coherencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1 Coherencia temporal y monocromaticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2 Condiciones para obtener imágenes de interferencia estables . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 Interferencias de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.1 Descripción del experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2.2 Dispositivos por obtener franjas de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.3 Coherencia espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3 Dispositivos intereferométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.1 Interferencias en láminas dieléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.2 Láminas antirreflejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.3.3 El interferómetro de Fabry-Perot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.4 Filtros interferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.3.5 Interferómetros de Michelson y de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Difracción 75

4.1 Teoría escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.1 Introducción a la Teoría Escalar de la Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.2 Ondas escalares. El teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.3 Teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.1.4 Aplicación del teorema de Helmholtz-Kirchhoff a la difracción . . . . . . . . . . . . 77

4.2 Aproximaciones de la Teoria Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.1 Fórmula de exacta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.2 Difracción de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2.3 Difracción de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Estudio de casos particulares en aproximación de Fraunhofer . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.1 Onda plana a través de un objeto rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3.2 Onda plana a través de un objeto circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

ÍNDICE GENERAL 5

4.3.3 Onda plana a través de una estructura periódica unidimensional . . . . . . . . . . 84

6 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Óptica Geométrica

1.1 Óptica Geométrica Paraxial

1.1.1 Postulados de la Óptica Geométrica

Definimos el índice de refracción de un medio n como el cociente n = c/v, donde c es la velocidad de la

luz en el vacío y v es la velocidad de la luz en el medio considerado. Los cinco postulados de la Óptica

Geométrica se enuncian así:

1. Las trayectorias en los medios homogéneos e isótropos son rectilíneas.

2. Sea una superficie que separa dos medios de índices n y n_. El rayo incidente, el reflejado, el

transmitido o refractado y la dirección normal a la superficie en el punto de incidencia están en el

mismo plano (plano de incidencia).

3. Sean _, __ y ___ los ángulos que forman el rayo incidente, el refractado y el reflejado con la normal,

respectivamente. El rayo incidente y el transmitido verifican la ley de Snell: n sin(_) = n_ sin(__).

4. El rayo incidente y el reflejado verifican la ley de la reflexión: _ = ___.

5. Las trayectorias de la luz a través de diferentes medios son reversibles.

1.1.2 Principio de Fermat

Sea un medio homogéneo e isótropo de índice n. La luz viaja entre los puntos A y B, siguiendo una

trayectoria rectilínea. Definimos el camino óptico ΔAB como el producto entre el índice de refracción y

la distancia s que recorre la luz entre los dos puntos, ΔAB = nsAB. Si la luz atraviesa diferentes medios,

el camino óptico será

Δ = Σnisi. (1.1)

Si el medio es heterogéneo y el índice de refracción varía de punto a punto, la definición de camino óptico

se convierte en la siguiente integral

Δ =

_

c

nds (1.2)

7

8 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Figura 1.1: Ley de Snell Figura 1.2: Ley de la reflexión

El principio de Fermat dice que para ir de A a B, la luz sigue un camino extremal (es decir, un camino

máximo o mínimo):

δΔ = δ

_

c

nds = 0. (1.3)

Teorema de Malus-Dupin

Si sobre cada rayo que sale de un foco emisor de luz tomamos caminos ópticos iguales, los puntos que

limitan estos caminos generan una superficie que es normal a todos los rayos. Esta superficie se denomina

frente de onda.

1.1.3 Conceptos. Convenio de signos

Sistema óptico

Denominamos sistema óptico a un conjunto de superficies que separan medios con índices de refracción

diferentes. Si las superficies son de revolución, y sus centros están alineados, la recta que los une se

denomina eje óptico. El punto emisor de donde salen los rayos se denomina objeto; el punto donde se

juntan los rayos, una vez pasado el sistema óptico es la imagen. Si los rayos pasan físicamente por un

punto se denomina real. El punto es virtual si llegan o salen las prolongaciones de los rayos. El conjunto

de puntos objeto forma el espacio objeto mientras que el conjunto de puntos imagen conforma el espacio

imagen.

Sistema óptico perfecto

Un sistema óptico es perfecto si se puede establecer una relación de semejanza entre todo el espacio objeto

y todo el espacio imagen. Se puede demostrar que esta condición no es físicamente viable. Podemos

determinar unas nuevas condiciones menos restrictivas (condiciones de Maxwell):

1.1. ÓPTICA GEOMÉTRICA PARAXIAL 9

1. A un plano normal en el eje óptico en el espacio objeto le corresponde otro plano normal al eje

óptico en el espacio imagen.

2. Todos los rayos que entran en el sistema partiendo de un punto pasan a la salida por otro punto

(real o virtual).

3. Toda figura contenida en un plano perpendicular al eje, se representa como una figura semejante

contenida también en un plano perpendicular al eje, en el espacio imagen.

Definición de Condición de stigmatismo: Un sistema se comporta stigmáticamente entre dos puntos

cuando todos los rayos que salen de un punto objeto van a parar a un punto imagen (real o virtual).

Convenio de signos

Figura 1.3: Convenio de signos. Variables geométricas

Valor positivo Valor negativo

Distancias a lo largo s, s_ Derecha de la superficie Izquierda de la superficie

del eje

Radios de curvatura r Centro a la derecha de la superficie Centro a la izquierda de la superficie

Distancias normales y, y_, h Sobre el eje óptico Bajo el eje óptico

al eje

Ángulos de incidencia, _, __, ___, Sentido horario Sentido antihorario

refracción y reflexión ω, ω_ (girando hacia la normal) (girando hacia la normal)

Ángulos con el eje σ, σ_, ϕ Sentido antihorario Sentido horario

(girando hacia el eje óptico) (girando hacia el eje óptico)

Tabla 1.1: Convenio de signos. Norma europea

Óptica paraxial. Definición

Muchas de las situaciones que se estudian en la Óptica Geométrica presentan como particularidad que

los ángulos con los cuales se trabaja son peque˜nos. Cuando se trabaja en estas condiciones se habla de

Óptica de primer grado o bien Óptica Paraxial. En estos casos, la aproximación del seno o la tangente

10 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

del ángulo por su arco es válida: sin(_) _, tan(_) _. En estas condiciones, la ley de la refracción se

escribe n_ = n___.

1.1.4 El Invariante de Abbe

El invariante de Abbe da la posición de la imagen a partir de la posición de un punto objeto (emisor)

cuando se produce una refracción a través de una superficie esférica de radio r que separa dos medios

de índices n y n_; s y s_ son las distancias del objeto a la superficie y de esta superficie a la imagen,

respectivamente. La fórmula del invariante de Abbe indica que cualquier par de puntos objeto-imagen

verifica la relación de stigmatismo. Esta relación es válida en condiciones paraxiales.

n

_

1

r

1

s

_

= n

_

_

1

r

1

s_

_

. (1.4)

Esta fórmula se puede aplicar repetidamente para varias superficies aplicando la fórmula de paso:

si+1 = s

_

i

di,i+1, (1.5)

que relaciona las distancias imagen y objeto de superficies consecutivas.

Figura 1.4: Fórmula de paso entre dos superficies

Si la superficie es un espejo, entonces n_ = n y la fomula se escribe

1

s

+

1

s_ =

2

r

. (1.6)

1.1.5 Aumentos. Planos focales y principales

Aumento lateral

Se define el aumento como la relación de tama˜no entre la imagen y el objeto: β_ = y_/y. Para un sistema

con k superficies que separan k + 1 medios, el aumento se puede calcular como

β

_ = n1

nk+1

_k

y=1

s_

i

si

(1.7)

donde si y s_

i son las distancias objeto e imagen parciales referidas a la superficie i.

1.1. ÓPTICA GEOMÉTRICA PARAXIAL 11

Planos focales y planos principales

1. El punto del eje óptico donde se cortan los rayos que provienen del infinito y que son paralelos al

eje óptico se denomina foco imagen. De forma análoga, el punto del eje óptico que tiene por imagen

el infinito se denomina foco objeto.

2. El plano perpendicular al eje óptico que contiene el foco o punto focal se denomina plano focal. Los

rayos que provienen del infinito y que entran en el sistema óptico formando un cierto ángulo con el

eje óptico se cruzan en un punto del plano focal.

3. Denominamos planos principales a dos planos conjugados perpendiculares al eje con aumento lateral

β_ = 1 entre ellos. El punto de intersección entre las prolongaciones del rayo procedente del infinito,

y que es paralelo al eje óptico, y del rayo que a la salida va a buscar el foco, marca la posición del

plano principal imagen H_. El plano principal objeto H se encuentra de forma análoga, considerando

un rayo que pasa por el foco objeto. El conocimiento de los planos principales y focales nos da toda

la información necesaria para el estudio de un sistema óptico en primer orden con independencia

de su complejidad.

4. La distancia entre los planos principales y focales se denomina distancia focal o simplemente focal.

Las focales objeto y imagen verifican la relación

f

f_ = n

n_ . (1.8)

5. En una superficie esférica, los planos principales H y H_ se confunden con propia superficie esférica

(fijémonos que estamos en aproximación paraxial). Las focales se pueden calcular utilizando el

invariante de Abbe:

f

_ = r

n_

n_ n

f = r

n

n_ n

(1.9)

6. El inverso de la distancia focal imagen se denomina potencia de un sistema óptico φ = 1/f_ y se

mide en dioptrías (1 D = 1 m1).

1.1.6 Ley de las lentes

En un sistema óptico definido por las posiciones de los planos principales y focales, se verifican las

relaciones siguientes

zz

_ = ff

_ n

s

+ n_

s_ = n_

f_ , (1.10)

donde z es la posición del objeto referidada al foco objeto y z_ es la posición de la imagen referidada al

foco imagen. Si los índices extremos son iguales, caso habitual en las lentes y los instrumentos ópticos,

f = f_,

zz

_ = f

_2 1

s

+

1

s_ =

1

f_ . (1.11)

En este caso, el aumento lateral es β_ = s_/s.

12 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Figura 1.5: Ley de las lentes

1.1.7 Sistemas compuestos

Tenemos dos sistemas ópticos bien definidos por sus planos principales y focales, dispuestos según se indica

en la figura 1.6. Se puede demostrar que es posible determinar un único sistema (sistema compuesto)

de planos principales y focales conjuntos, calculados a partir de los de cada sistema. Por lo general,

cualquier sistema óptico, independientemente de su complejidad, puede ser reducido a un único par de

planos principales y focales. Esto supone una notable simplificación en el estudio paraxial de sistemas

ópticos complejos, es decir, formados por muchas lentes o espejos.

H1 H’1 H2 H’2

n1 n’1 = n2 n’2

f1 f’1 t f2 f’2

e

F1 F’1 F2 F’2

Figura 1.6: Sistemas compuestos

A continuación se indican las fórmulas que permiten obtener la focal conjunta del sistema compuesto, así

como las posiciones de sus planos principales y focales:

Caso general, n1, n2, n_

2 n1 = n2 = n_

2

f_ = f

_

1f

_

2

ef_

1+f2

f_ = f

_

1f

_

2

f_

1+f_

2

e

H1H = ef1

ef_

1 +f2

H1H = ef

_

1

f_

1 +f_

2

e

H_

2H_ = ef

_

2

ef_

1+f2

H_

2H_ = ef

_

2

f_

1+f_

2

e

Tabla 1.2: Fórmulas de acoplamiento de sistemas

1.1. ÓPTICA GEOMÉTRICA PARAXIAL 13

1.1.8 Lentes

Las lentes son la base de los instrumentos ópticos. Están formadas por dos superficies refractivas (que

aquí tomaremos esféricas de radios r1 y r2), separadas una distancia e, que encierran un medio de índice

n. Podemos estudiar su funcionamiento considerándolas como sistemas compuestos, puesto que a cada

superficie esférica le podemos asignar sus planos principales y focales asociados. Aplicando las fórmulas

de los sistemas compuestos podemos determinar estos valores. Sean n1 y n_

2 los índices de los medios

inicial y final y n, el índice del material del cual está hecha la lente:

Caso general, n1, n, n_

2 diferentes Índices extremos aire n1 = n_

2 = 1

1

f_ = nn1

n_

2

1

r1

+ n

_

2

n

n_

2

1

r2

+ (nn1)(nn

_

2)

nn_

2

e

r1r2

1

f_ = (n 1)

_

1

r1

1

r2

_

+ (n1)2

n

e

r1r2

H1H = en1r1/(nn1)

enr1/(nn1)nr2/(n_

2

n) H1H = er1

n(r1r2)e(n1)

H_

2H_ = en

_

2r2/(n

_

2

n)

enr1/(nn1)nr2/(n_

2

n) H_

2H_ = er2

n(r1r2)e(n1)

Tabla 1.3: Fórmulas de dise˜no de lentes

Lentes delgadas

Si el grosor de la lente es peque˜no frente a los radios de curvatura y n1 = n_

2 = 1, se verifica que

1

f_ = (n 1)

_

1

r1

1

r2

_

H1H = 0 H

_

2H

_ = 0. (1.12)

1.1.9 Formación de imágenes en una lente

Fórmula de formación de imágenes en las lentes (índices extremos iguales): 1

s + 1

s_ = 1

f_ . Ver figuras

1.7 a 1.14.

1.1.10 Formación de imágenes en un espejo esférico

Fórmula de formación de imágenes en espejos esféricos: 1

s + 1

s_ = 2

r = 1

f_ . Ver figuras 1.15 a 1.22.

1.1.11 Limitaciones de luz y campo en sistemas ópticos

Diafragma de apertura. Dado un sistema óptico, el elemento que limita la cantidad de luz que

atraviesa el sistema (montura de lente, diafragma intercalado, . . . ) se denomina diafragma de

apertura. Su imagen en el espacio objeto que indica la medida de la apertura por donde penetra

la luz, recibe el nombre de pupila de entrada. La imagen del diafragma de apertura en el espacio

imagen que indica la medida de la apertura por donde sale la luz, recibe el nombre de pupila de

salida.

Diafragma de campo. Dado un sistema óptico, el elemento que limita el tama˜no del objeto se

denomina diafragma de campo. Su imagen en el espacio objeto recibe el nombre de lucarna de

entrada. La imagen del diafragma de campo en el espacio imagen recibe el nombre de lucarna de

salida.

14 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 1.7: Gráfica s

_

(s) para una lente convergente de f

_

= 1 m

Figura 1.8: Lente convergente. Objeto real e imagen real

Figura 1.9: Lente convergente. Objeto real e imagen virtual

Figura 1.10: Lente convergente. Objeto virtual e imagen real

1.1. ÓPTICA GEOMÉTRICA PARAXIAL 15

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 1.11: Gráfica s

_

(s) para una lente divergente de f

_

= 1 m

Figura 1.12: Lente divergente. Objeto real e imagen virtual

Figura 1.13: Lente divergente. Objeto virtual e imagen real

Figura 1.14: Lente divergente. Objeto virtual e imagen virtual

16 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 1.15: Gráfica s

_

(s) para un espejo esférico convexo de f

_

= 1 m

Figura 1.16: Espejo esférico convexo. Objeto real e imagen virtual

Figura 1.17: Espejo esférico convexo. Objeto virtual e imagen real

Figura 1.18: Espejo esférico convexo. Objeto virtual e imagen virtual

1.1. ÓPTICA GEOMÉTRICA PARAXIAL 17

-10

-5

0

5

10

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 1.19: Gráfica s

_

(s) para un espejo esférico cóncavo de f

_

= 1 m

Figura 1.20: Espejo esférico cóncavo. Objeto real e imagen real

Figura 1.21: Espejo esférico cóncavo. Objeto real e imagen virtual

Figura 1.22: Espejo esférico cóncavo. Objeto virtual e imagen real

18 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

1.2 Instrumentos de proyección

1.2.1 Introducción a los instrumentos de proyección

Los instrumentos de proyección están dise˜nados para formar la imagen de un objeto sobre un plano de

referencia. Normalmente están constituidos por un sistema convergente, de manera que se obtiene una

imagen real a partir de un objeto también real. La física asociada a este problema puede ser explicada a

partir de la fórmula de formación de imagen:

1

s

+

1

s_ =

1

f_ , (1.13)

donde s y s_ son las distancias entre el sistema óptico y el objeto y el sistema óptico y la imagen,

respectivamente; f_ es la distancia focal del sistema. El aumento geométrico β_ es la relación entre

distancias s_ y s:

β

_ = s_

s

. (1.14)

El aumento es negativo en los sistemas proyectores (es decir, la imagen obtenida está invertida). Si

|β_| < 1, la imagen es más peque˜na que el objeto mientras que si |β_| > 1 la imagen es más grande que

el objeto. Por ejemplo, habitualmente las cámaras fotográficas proyectan un objeto en una imagen que

debe tener las dimensiones del negativo fotográfico. Esto corresponde al caso |β_| < 1. A diferencia de

esto, en un proyector de diapositivas lo que interesa es ver la imagen ampliada de una diapositiva sobre

una pantalla, y por lo tanto |β_| > 1.

1.2.2 El ojo humano

El estudio del ojo humano desde el punto de vista de los instrumentos ópticos tiene un interés doble.

Por una parte, se trata de un instrumento de proyección. Por otro lado, el dise˜no de algunos aparatos,

como los telescopios y los microscopios, debe realizarse teniendo en cuenta el funcionamiento del ojo.

Destaquemos sus partes más importantes (véase la figura 1.23):

El cristalino. Es una lente convergente de focal variable. La distancia s_ está fijada, mientras que el

ojo enfoca a diferentes distancias. Recuérdese que debe verificarse la ley de las lentes, 1

s + 1

s_ = 1

f_ .

Este fenómeno se denomina acomodación; una persona puede ver nítidamente desde el infinito hasta

un punto próximo situado, por término medio, a 25 cm del ojo.

La retina y la fóvea. La retina es la parte del ojo donde se forma la imagen. La retina está llena de

células nerviosas sensibles a la luz que envían la información de la se˜nal luminosa hacia el cerebro.

La zona de la retina donde la imagen se forma con mayor nitidez se denomina fóvea.

El iris. Se comporta como un diafragma. Se cierra cuando hay un exceso de luz y se abre cuando

las condiciones de luz son deficientes.

Un ojo miope es aquel que enfoca la imagen del infinito en un plano situado antes de la retina. Este

defecto visual se corrige con el uso de lentes divergentes. Si la imagen del infinito se forma detrás

de la retina, el ojo es hipermétrope. Para corregir este defecto se utilizan lentes convergentes.

1.2. INSTRUMENTOS DE PROYECCI ÓN 19

Figura 1.23: Esquema del ojo humano

1.2.3 La cámara fotográfica

Figura 1.24: Esquema de la cámara fotográfica

Desde el punto de vista óptico, la cámara fotográfica es muy parecido al ojo. Consiste en un sistema

móvil de lentes convergentes (objetivo). En el plano donde se forma la imagen, se coloca la película.

La posición de este plano está fijada. La cámara enfoca un objeto situado a una cierta distancia s del

mismo; modificando la posición de la lente, se modifica la distancia s_, de manera que se verifique la ley

de formación de imágenes. 1

s + 1

s_ = 1

f_ , haciendo coincidir el plano de formación de imagen con la

posición del plano que contiene la película.

El objetivo incorpora un diafragma (pupila de entrada) que regula la cantidad de luz que penetra en

el sistema. El máximo ángulo de campo ω que puede entrar en el sistema está condicionado por las

dimensiones del negativo (24 x 36 mm para película estándar) y por la distancia objetivo-película.

La apertura relativa se define como el cociente entre el diámetro de la pupila de entrada y la focal del

sistema, y es una medida de la cantidad de luz que llega a la película. Por otra parte, se define el número

20 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

de diafragma N como el valor inverso de la apertura relativa N = f_PE. Los valores de N están

estandardizados (2, 2.8, 4, 5.6, 8, 11, 16, 22). Estos valores siguen una progresión geométrica de razón

2. De esta manera, al aumentar N en un valor, la cantidad de luz se reduce a la mitad.

En condiciones paraxiales, la imagen de un punto es un punto. Sin embargo, la película fotográfica está

constituida de tal modo que al incidir luz sobre un punto de la película, se registra en el negativo una

mancha de dimensiones finitas. Esta zona se denomina grano de la película. Las películas más sensibles

(es decir, aquellas que necesitan menos luz para grabar una escena) presentan menos definición (el tama˜no

del grano es más grande). Por otra parte, las películas de más definición requieren buenas condiciones de

luz por trabajar adecuadamente. El hecho que las películas presenten una resolución limitada se traduce

en los fenómenos de la profundidad de foco y la profundidad de campo.

Figura 1.25: Concepto de profundidad de foco

Un objeto situado a distancia s delante de una lente de focal f_ forma su imagen a distancia s_. Sea 2r

el diámetro del grano de la película, supuesto circular. Según resulta de la figura 1.25, el plano de la

película podría estar situar en cualquier sitio dentro la ‘zona de imágenes enfocadas’ (2Δz_). Si enfocamos

un objeto al infinito, se verifica Δz_ = 2rN. Por lo tanto, cuanto más cerrado esté el objetivo (N más

grande), más aumentará la profundidad de foco.

Este concepto puede ser trasladado al espacio objeto: al fijar la distancia s moviendo el objetivo aseguramos

que en el plano a distancia s_ de la lente se forma imagen siguiendo la fórmula de las lentes.

Ahora bien, todos los planos en un entorno del plano que se encuentra a distancia s de la lente también

quedarán enfocados a consecuencia de las dimensiones finitas del grano de la película. Este fenómeno se

denomina profundidad de campo.

1.2.4 Objetivos fotográficos

De la figura 1.24 se deduce que el ángulo máximo de campo con el que puede penetrar la luz en la

cámara fotográfica está condicionado por el tama˜no de la película fotográfica y por la distancia imagen

s_ lente-película. Si interesa fotografiar áreas muy extensas, el ángulo de campo máximo debe ser muy

1.2. INSTRUMENTOS DE PROYECCI ÓN 21

grande. Para que pase esto, la distancia focal del objetivo tiene que ser peque˜na. Estos dispositivos se

denominan gran angulares, trabajan con ángulos grandes, y por lo tanto, han de estar muy bien corregidos

de aberraciones (distorsión, coma, astigmatismo).

Por otra parte, si fotografiamos con detalle un objeto lejano, el ángulo máximo de campo es peque˜no.

Esto implica que la distancia focal del objetivo tiene que ser grande por poder resolver el objeto. Existen

problemas prácticos para utilizar lentes de focales muy grandes. Por ejemplo, utilizar una lente de 500

mm, supone que entre la lente del objetivo y el negativo debe haber una distancia de unos 50 cm.

Figura 1.26: Sistema teleobjetivo . Trazado de rayos y posición del plano principal y focal

Para construir sistemas compactos, se utilizan los teleobjetivos, que consisten en una lente convergente

y otra divergente separadas una distancia e. A partir del trazado de rayos, tal y como se indica en la

figura 1.26, se puede ver que el plano principal imagen se aleja y la distancia focal se hace grande. Esto

se consigue, con dimensiones razonables de la cámara. Recuérdese que la focal conjunta de un sistema

de dos lentes se calcula a partir de la relación

f

_ = f_

1f_

2

f_

1 + f_

2

e

(1.15)

Por lo tanto, con dos lentes, una convergente y el otra divergente, se puede obtener un rango de focales

modificando la distancia e. El zoom es un teleobjetivo especial donde la distancia e es ajustable por el

usuario. De este modo se consigue una variación continua de la focal y, en consecuencia, el fotógrafo

puede encuadrar la escena de la forma más adecuada.

1.2.5 Sistemas de iluminación de proyectores

Los proyectores constan de un objetivo (sistema de lentes convergente), que proyecta una transparencia

sobre una pantalla. Normalmente interesa que el aumento lateral sea grande. El problema en los

proyectores es conseguir que la transparencia esté uniformemente iluminada.

22 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Figura 1.27: Sistema de iluminación crítica

Una posibilidad consiste en utilizar una bombilla y, mediante una lente denominada condensador, proyectar

el filamento de la bombilla sobre la transparencia. En este sistema de iluminación, denominado iluminaci

ón crítica, el filamento aparece sobre la pantalla, la iluminación es poco uniforme y las zonas de la

transparencia que son iluminadas directamente por la bombilla pueden deteriorarse como consecuencia

de la temperatura.

Figura 1.28: Sistema de iluminación K¨ohler

El sistema de iluminación K¨ohler consiste en formar la imagen del filamento sobre el objetivo con la

ayuda de la lente condensadora. La transparencia se coloca junto al condensador. Así, el filamento no se

proyecta sobre la pantalla y la transparencia recibe una luz más uniforme.

1.3 Telescopios

1.3.1 Introducción

Los telescopios son instrumentos dise˜nados por observar objetos muy alejados. Se trata de sistemas afocales.

Esto quiere decir que la imagen del infinito a través del telescopio está también en el infinito. De

1.3. TELESCOPIOS 23

igual manera que el microscopio, los telescopios se dise˜nan de forma que los rayos emergentes del instrumento

salgan paralelos, es decir, hacia el infinito. De este modo, el ojo puede trabajar sin acomodación,

y por lo tanto no se fuerza la vista mientras se utiliza el instrumento. Finalmente, la imagen del infinito

se proyecta sobre la retina.

Los telescopios y los microscopios están formados básicamente por dos sistemas ópticos: objetivo y ocular.

El ocular del telescopio y del microscopio funcionan de manera análoga. Se trata de un sistema de lentes,

que tiene un plano focal objeto donde se forma la imagen producida por el objetivo y, por lo tanto, ésta

se proyecta de nuevo hacia el infinito a través del ocular.

1.3.2 Anteojo astronómico

El anteojo astronómico es el telescopio más simple. Consiste en dos sistemas de lentes convergentes: el

objetivo, de focal f_

obj , y el ocular, con focal f_

oc. El plano focal imagen del objetivo y el plano focal objeto

del ocular son coincidentes. Así, los rayos que provienen del infinito forman una imagen intermedia en el

plano focal común. El ocular proyecta de nuevo esta imagen al infinito. La figura 1.29 muestra el trazado

de rayos a través de un telescopio astronómico. Los rayos que entran paralelos al eje óptico se cruzan en

el punto focal imagen del objetivo; al atravesar el ocular vuelven a salir paralelos al eje óptico. El rayo

que entra por el extremo superior del objetivo sale ahora por debajo, indicándonos de forma gráfica que

este instrumento tendrá un aumento negativo. Los rayos que entran en el sistema, formando un cierto

ángulo ω con el eje óptico, se cruzarán en un cierto punto del plano focal común. Para determinar este

punto debe recordarse que el rayo que pasa por el centro de la lente no se desvía. Al pasar los rayos

a través del ocular, estos salen paralelos formando un ángulo ω_ con el eje óptico. Para determinar la

dirección de salida, se ha indicado con línea discontinua un rayo auxiliar que pasa por el punto del plano

focal donde se han cruzado los rayos que entran en el sistema formando un ángulo ω con el eje óptico y

que pasa sin desviarse por el centro del ocular.

En el plano focal común, se suele colocar el diafragma de campo. El tama˜no de la imagen del infinito

que se forma en este plano está limitada por las dimensiones de este diafragma. El tama˜no de este objeto

intermedio es una medida directa del ángulo máximo que puede penetrar en el telescopio. Por otra parte,

la limitación sobre la cantidad de luz que penetra en el sistema (diafragma de apertura, DA) se encuentra

en el objetivo. Como que no tenemos ningún sistema óptico previo al objetivo, éste se comporta como

la pupila de entrada (PE) del sistema. Al calcular la imagen del DA a través del ocular, se obtiene la

posición y las dimensiones de la pupila de salida (PS). Este es el plano donde se debe colocar el ojo para

observar a través del anteojo (plano de emergencia de pupila). Si nos fijamos en el trazado de rayos

en eje, se podría pensar que cualquier plano a partir del ocular sería adecuado para colocar el ojo. Sin

embargo, al hacer el trazado en campo puede verse que la única manera de no perder rayos es colocar el

ojo en la PS.

En los telescopios, el aumento viene dado por la relación entre lo que se ve a través del instrumento

respecto el que se vería a ojo desnudo. El aumento obtenido con este sistema es

Γ =

tan(ω_)

tan(ω)

=

f_

obj

f_

oc

= φPE

φPS

(1.16)

Nótese que este aumento es negativo. La fórmula del aumento se puede demostrar fácilmente a partir de

equivalencias de triángulos en la figura 1.29.

24 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Figura 1.29: Anteojo astronómico

1.3.3 Anteojo de Galileo

El anteojo de Galileo es un instrumento con un dise˜no muy parecido al anteojo astronómica. Este último

presenta un aumento negativo y por lo tanto genera un problema de orden práctico al utilizarlo para

observar objetos en la Tierra, ya que se ven las cosas invertidas. Para conseguir un aumento positivo, se

utiliza una lente o sistema divergente como ocular. El plano focal imagen del objetivo y el plano focal

objeto del ocular son también coincidentes. Las figuras 1.30 y 1.31 muestran el trazado de rayos en eje

y en campo. Es fácil demostrar que aquí el aumento también se describe por

Γ =

tan(ω_)

tan(ω)

=

f_

obj

f_

oc

> 0. (1.17)

Como el valor de f_

oc es negativo, ya que la lente es divergente, el aumento visual del instrumento es

positivo.

Para encontrar la posición de la pupila de salida, se calcula la posición de la imagen de la montura del

objetivo a través del ocular. Esta se encuentra en el interior del telescopio,y en consecuencia el objetivo

no actúa de diafragma de apertura. El ojo se deberá acercar al máximo al ocular y mirar a través. La

imagen del objetivo limitará el campo que verá el ojo, por lo tanto, el objetivo hace de diafragma de

campo del conjunto telescopio-ojo y su imagen, de lucarna de salida.

1.3.4 Anteojo terrestre

El anteojo terrestre es una alternativa para conseguir telescopios con aumento visual positivo sin que se

generen los problemas de vi˜neteo propios del anteojo de Galileo. Se trata de un anteojo astronómico al

que se ha a˜nadido una lente denominada inversora. La imagen del infinito se forma en el plano focal

imagen del objetivo. Esta imagen se proyecta a través de la lente inversora, formándose una nueva imagen

intermedia. El plano de formación de esta imagen es coincidente con el plano focal objeto del ocular, y

por lo tanto los rayos salen paralelos del sistema. Puesto que el aumento de la proyección a través de la

lente inversora es negativo, el aumento total es positivo.

1.3. TELESCOPIOS 25

Figura 1.30: Anteojo de Galileo (trazado de rayos en eje)

Figura 1.31: Anteojo de Galileo (trazado de rayos en campo)

Se puede demostrar que el anteojo terrestre tiene un aumento visual que es igual a

Γat =

tan(ω_)

tan(ω)

=

f_

obj

f_

oc

.

s_

s

= Γaaβ

_

inv (1.18)

El aumento visual en este caso es igual al aumento visual correspondiente al anteojo astronómico Γaa

que podríamos construir sin inversora, multiplicado por el aumento lateral de la proyección de la imagen

intermedia a través de la lente inversora. Puesto que ambos aumentos parciales son negativos, el aumento

total es positivo.

En este instrumento, el objetivo actúa como pupila de entrada. La posición de la imagen de esta a través

de la inversora y el ocular, indica donde se debe poner el ojo. El diafragma de campo en este instrumento

se encuentra situado equivalentemente en el plano focal imagen del objetivo o en plano focal objeto del

ocular, aunque normalmente se coloca en el segundo.

26 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Figura 1.32: Anteojo terrestre

1.3.5 Telescopios de espejos

Basándose en el telescopio astronómico, se pueden dise˜nar telescopios en los cuales el objetivo es un

sistema de espejos en vez de lentes. Estos sistemas pueden presentar valores de f_

obj muy grandes, lo

que supone grandes aberturas, y por lo tanto el instrumento es muy luminoso. Además, los espejos no

presentan aberración cromática. Los grandes telescopios presentan arquitecturas de este tipo. La figura

1.33 muestra un ejemplo de telescopio de espejos: al determinar la posición del plano principal objeto

obtenemos que la focal del objetivo es muy grande, lo que supone un valor del aumento muy elevado.

Figura 1.33: Telescopio de Cassegrain

1.4 Microscopios

1.4.1 La lupa. El objetivo del microscopio

Un microscopio es un sistema óptico dise˜nado por observar objetos peque˜nos. Si queremos observar un

objeto de reducidas dimensiones, lo que haremos será acercarnos a él cuanto sea posible, hasta la distancia

mínima en la que ojo sea capaz acomodar. Esta distancia se denomina distancia del punto próximo y se

toma, en promedio, de 250 mm.

1.4. MICROSCOPIOS 27

El microscopio está basado en el funcionamiento de la lupa. Al mirar un objeto de altura y0 a ojo desnudo,

situaremos el ojo a 250 mm del objeto. La tangente del ángulo ω (véase figura 1.34) es tan(ω) = y0/250.

Si visualizamos ahora el objeto a través de una lente convergente, podemos verlo con un cierto aumento.

Colocamos el objeto en al plano focal objeto de esta lente (véase figura 1.35) y observamos. Los rayos

saldrán paralelos después de atravesar la lente. El rayo que pasa por el centro de la lente y el extremo

del objeto formarán un ángulo ω_ respeto al eje óptico. La tangente de este ángulo será tan(ω_) = y0/f.

Por lo tanto, el aumento visual será

Γ =

tan(ω_)

tan(ω)

=

250

f_ (la focal se ha de expresar en mm.) (1.19)

Compruébese que este aumento es positivo.

Figura 1.34: Observación de un objeto sin instrumento

Figura 1.35: Observación de un objeto con lupa

1.4.2 El microscopio compuesto

El microscopio se dise˜na a˜nadiendo una etapa proyectora (objetivo) previa a la lente que actuará de forma

equivalente a una lupa (ocular). El objeto a observar se coloca a distancia s del objetivo. La imagen a

través del objetivo se forma a distancia s_ de esta lente. El plano donde se forma esta imagen intermedia

28 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

es coincidente con el plano focal objeto de la lente que actúa como lupa (ocular). Los rayos salen paralelos

después de atravesar el ocular y así el ojo puede observar en condiciones de no acomodación.

Figura 1.36: Microscopio

Sea t la distancia entre el plano focal imagen del objetivo y el plano focal objeto del ocular. Se puede

demostrar que el aumento visual de este instrumento es

Γ =

tan(ω_)

tan(ω)

= t

f_

obj

250

f_

oc

= β

_

objΓoc, (1.20)

es a decir, el aumento del instrumento se calcula multiplicando los aumentos del objetivo β_

obj por los

aumentos del ocular Γoc. Como en el telescopio, el objetivo hace de diafragma de apertura. La imagen

del objetivo a través del ocular es la pupila de salida, donde se coloca el ojo. El diafragma de campo se

encuentra situado en el plano focal objeto del ocular.

Figura 1.37: Microscopio con iluminación K¨ohler

Un aspecto importante en el dise˜no de un microscopio es la iluminación de la muestra. Por ejemplo, se

puede utilizar un sistema de iluminació K¨ohler. La muestra se coloca en contacto con el condensador y

1.4. MICROSCOPIOS 29

por lo tanto, queda iluminada uniformemente. El esquema de este instrumento se puede observar en la

figura 1.37.

30 CAPÍTULO 1. ÓPTICA GEOMÉTRICA

Capítulo 2

Óptica Electromagnética

2.1 Ondas electromagnéticas

2.1.1 Ecuaciones de Maxwell

El formalismo básico para describir los fenómenos electromagnéticos relacionados con la óptica ondulatoria

son las ecuaciones de Maxwell. En el sistema CGS Gauss se escriben como:

_∇∧ _H =

4π_j

c

+

1

c

∂_D

∂t

_∇∧ _E = 1

c

∂_B

∂t

__D = 4πρ

__B = 0, (2.1)

donde _H es el campo magnético, _E es el campo eléctrico, _D es el vector desplazamiento, _B es el vector

inducción magnética, _j es la densidad de corriente, ρ es la densidad de carga y c es una constante de

proporcionalidad.

Las ecuaciones de Maxwell se complementen con las denominadas relaciones constitutivas:

_D

= __E

_B

= μ_H _j = σ _ E, (2.2)

donde _ es la constante dieléctrica, μ es la permeabilidad magnética y σ es la conductividad eléctrica. En

un medio dieléctrico homogéneo, isótropo y sin carga, ρ = 0, σ = 0, _ y μ = constantes. Las ecuaciones

se simplifican:

_∇∧ _H = _

c

∂_E

∂t

_∇∧ _E = μ

c

∂_H

∂t

__E = 0

__H = 0. (2.3)

31

32 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Cuando un campo electromagnético cambia de medio, las componentes normales y tangenciales de éste

verifican las relaciones siguientes:

Componentes normales: _n( _D2 _D1) = 4πρs _n(B_2 B_1) = 0

Componentes tangencials: _n (E_2 _ E1) = 0 _n ( _H2 _H1) =

4π

c

_js, (2.4)

donde _n es el vector normal a la superficie, y ρs y _js son las densidades superficiales de carga y de

corriente, respectivamente. Los subíndices 1 y 2 hacen referencia a los campos en el medio original y en

el medio en el que se transmiten los campos, respectivamente. Si las densidades de carga y corriente son

cero, ρs = 0 y _js = 0, entonces se verifican las relaciones de continuidad siguientes:

Componentes normales: Dn

2 = Dn

1 Bn

2 = Bn

1

Componentes tangenciales: Et2

= Et1

Ht2

= Ht1

. (2.5)

Los superíndices n y t hacen referencia a las componentes normales o tangenciales.

2.1.2 La ecuación de ondas. Soluciones

En un medio homogéneo e isótropo, al combinar las ecuaciones de Maxwell se obtiene el par de ecuaciones

siguiente:

Δ_H =

c2

2_H

∂t2

Δ_E =

c2

2_E

∂t2 . (2.6)

Estas expresiones son formalmente ecuaciones de ondas. Así, la velocidad de propagación puede relacionarse

con los parámetros c, _ y μ

1

v2 =

c2 v = c

. (2.7)

En el vacío, _ = μ = 1 y, por lo tanto, v = c. Es decir, c es la velocidad de la luz en el vacío. El índice

de refracción se puede escribir en función de los parámetros μ y _, n = c/v =

.

Sean _r = (x, y, z) el vector posición de un punto y _s = (α, β, γ) el vector unitario (__s_ = 1) que indica la

dirección de propagación de la onda. Se puede comprobar fácilmente que una función f del tipo f(vt}_r_s)

es solución de la ecuación de ondas. Esta solución de la ecuación de ondas se denomina onda plana. En

el caso unidimensional, escribiremos la ecuación de ondas como

2_E

∂x2 =

1

v2

2_E

∂t2 . (2.8)

En este caso particular, _s = (1, 0, 0), y la solución se escribe como f(vt + x) o f(vt x).

De las relaciones entre la pulsación ω, el periodo T, T = 2π/ω, la longitud de onda λ, el número de onda

k, k = 2π/λ, la frecuencia ν y la velocidad, λν = v, podemos escribir el argumento de la función de onda

plana como:

2.1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 33

vt }_r_s =

1

k

(ωt } k_r_s). (2.9)

Dependiendo del caso que se estudie, la función f puede ser complicada de describir. El análisis de Fourier

afirma que cualquier función puede ser descrita como una combinación lineal de funciones armónicas. Por

esta razón, tomaremos funciones de onda armónicas para describir los campos eléctrico y magnético, por

ejemplo:

_E

= _E0 cos(ωt k_r_s) _H = _H0 cos(ωt k_r_s), (2.10)

donde los módulos __E0_ y __H0_ son las amplitudes máximas de los campos eléctrico y magnético, respectivamente.

El argumento de estas funciones es adimensional. Por comodidad, a la hora de hacer

manipulaciones matemáticas, escribiremos los campos en notación compleja, aunque únicamente la parte

real (o la imaginaria) tiene sentido físico, es decir:

_E

= _E0 exp(i(ωt k_r_s)) _H = _H0 exp(i(ωt k_r_s)), (2.11)

_E

0 es la amplitud de la onda y exp(i(ωt k_r_s)) su fase, que también se puede escribir en términos del

índice de refracción. Si definimos p = ω/c, tendremos que

_E

= _E0 exp(ip(ct n_r_s)) _H = _H0 exp(ip(ct n_r_s)). (2.12)

Definimos el concepto de frente de onda como el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma fase,

en un momento dado. En el caso de ondas planas, el frente de onda es el plano k_r_s = C donde C es

una constante. Es posible establecer una relación entre los conceptos de fase y camino óptico (Δ = nl,

donde n es el índice de refracción y l la distancia recorrida por la onda). Sea una onda de pulsación ω y

dirección de propagación _s. La diferencia de fase entre dos planos ‘1’ y ‘2’ del frente de onda, distantes l

entre si, es

(ωt k_r2_s) (ωt k_r1_s) = k(_r2 _r1)_s = kl. (2.13)

Si la onda se propaga en un medio de índice n, kl = (k/n)nl = (k/n)Δ = 2π

λnΔ = λ0

n Δ. Este resultado se

utilizará más adelante en el estudio de los sistemas interferenciales. Otra solución de la ecuación de onda

que presenta un gran interés es aquella en la que el valor de la amplitud de la onda sólo depende de la

distancia al punto en que se genera. En este caso (onda esférica), es conveniente escribir la ecuación en

coordenadas esféricas y quedarnos solo con la parte radial, es decir, _E = _E(r, t):

Δ_E =

1

r

2r_E

∂r2 =

1

v2

2_E

∂t2 . (2.14)

Así podemos escribir

2r_E

∂r2 =

1

v2

2r_E

∂t2 (2.15)

34 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Esta última expresión es formalmente idéntica a la ecuación de ondas en una dimensión escrita en coordenadas

cartesianas. Por lo tanto, la solución en este caso será del tipo

_E

=

_ f(vt } r)

r

. (2.16)

Aquí el frente de ondas es una esfera.

Figura 2.1: Diferencia de fase

Figura 2.2: Diferencia de fase (esquema

transversal)

2.1.3 Energía. Vector de Poynting

Introduciendo las soluciones de la ecuación de ondas para los campos eléctrico y magnético en las ecuaciones

de Maxwell, podemos deducir las relaciones siguientes:

_s _H = n _E _s _E =

_H

n

, (2.17)

relaciones que indican que los vectores campo eléctrico, campo magnético y el vector _s son ortogonales

entre si. Los vectores campos eléctrico y magnético vibran en un plano que se propaga según la dirección

_s, tal y como se muestra en la figura 2.3. La energía electromagnética almacenada en un diferencial de

volumen se escribe

du =

_

1

8π

(___E _2 + μ__H _2)

_

dv, (2.18)

y, por lo tanto, la variación por unidad de tiempo de energía electromagnética almacenada en un volumen

V cerrado por una superficie S es

∂u

∂t

=

∂t

__

V

_

1

8π

(___E_2 + μ__H _2)

__

dv. (2.19)

Consideremos un material dieléctrico ideal (σ = 0). Utilizando las ecuaciones de Maxwell podemos

demostrar que la variación de energía puede expresarse como

2.1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 35

S

Figura 2.3: Transversalidad de los campos eléctrico y magnético

∂u

∂t

= c

4π

_

S

_E

_Hds. (2.20)

Definimos el vector de Poynting como

_S

= c

4π

_E

_ H. (2.21)

El vector de Poynting expresa la variación de energía radiada por unidad de tiempo y de superficie

perpendicular a la dirección de propagación. En los medios homogéneos e isótropos el vector de Poynting

y el vector _s tienen la misma dirección. La dirección del rayo (concepto propio de la Óptica Geométrica)

y _S (asociado a la propagación de la energía de la onda) coinciden. Si la longitud de onda corresponde

al espectro visible (400-700 nm) el periodo de vibración es del orden de 1014 s. Cuando colocamos un

detector (célula fotoeléctrica, cámara de vídeo, ojo, etc.) ante una onda electromagnética, éste no es

capaz de seguir las oscilaciones y por lo tanto detecta un promedio temporal de la se˜nal. Así, definimos

la intensidad del campo eléctrico como la media temporal del vector de Poynting.

I =< __S _ >= lim

τ

1

τ

_ τ

0

__S_dt. (2.22)

Resolviendo la integral anterior, la intensidad detectada, para ondas planas es

I = cn

8π

_E0_2, (2.23)

mientras que para ondas esféricas tenemos

I = cn

8π

_E0_2

r2 , (2.24)

resultado conocido como la ley del cuadrado de la distancia.

36 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

2.2 Polarización

2.2.1 La elipse de polarización

Consideremos la curva que se genera en z = 0, a partir de la composición de dos campos eléctricos de la

misma frecuencia y que vibran con un cierto desfase δ entre ellos, que viajan en la misma dirección – se

toma por conveniencia _s = (0, 0, 1) – y cuyas direcciones de vibración son ortogonales, es decir:

Ex = A1 cos(ωt) Ey = A2 cos(ωt + δ). (2.25)

al eliminar el parámetro t de las fórmulas anteriores, obtenemos la ecuación cartesiana siguiente

E2

x

A21

+

E2

y

A22

2ExEy

A1A2

cos(δ) = sin2(δ), (2.26)

que corresponde a una elipse con centro en su origen de coordenadas, pero con el eje mayor formando un

cierto ángulo ψ con el eje x. Este ángulo se puede encontrar a partir de la expresión

tan(2ψ) =

2A1A2 cos(δ)

A21

A22

. (2.27)

Figura 2.4: Luz polarizada elípticamente. En la figura de la izquierda, los ejes de la elipse presentan una rotación

respecto a los ejes de coordenadas. En ambos casos, la elipse se encuentra en el interior de un rectángulo de

dimensiones 2A1 × 2A2

El campo eléctrico combinación de los dos campos anteriores se escribe como

_E

=



A1 exp(i(ωt kz))

A2 exp(i(ωt kz + δ))

0



. (2.28)

2.2. POLARIZACI ÓN 37

Este campo, al propagarse, genera una espiral de paso elíptico. Esta onda se denomina luz polarizada

elíptica. El campo magnético tiene un comportamiento equivalente, y se determina a partir de la relación

_H

= n_s _E .

Si ahora colocamos un detector normal a la dirección de propagación, la intensidad que detectaremos

será la media temporal del vector de Poynting. En estas condiciones, como Hy = nEx y Hx = nEy,

entonces

_S

= c

4π

_E

_H __S_ = cn

4π

(A21

cos2(ωt) + A22

cos2(ωt + δ)). (2.29)

Calculando la media temporal se obtiene

I = cn

8π

(A21

+ A22

) (2.30)

y, por lo tanto, la intensidad es la suma directa de las contribuciones a la intensidad del campo eléctrico

según la dirección x y del campo eléctrico según la dirección y.

2.2.2 Polarización: casos particulares

Fijemos ahora, un plano cualquiera z = z0 donde analizar la elipse de polarización. El vector campo

eléctrico cambia de dirección en función del tiempo y la figura que genera el extremo de este vector se

describe por la ecuación 2.26. Considerando los diferentes valores que puede tomar δ, obtenemos los

diferentes casos de polarización (véase la figura 2.5).

Algunos casos de especial interés:

1. Luz polarizada lineal: δ = 0 o bien δ = π

2. Ejes de la elipse coincidentes con los ejes de coordenadas: δ = π/2 o bien δ = 3π/2. La luz será

polarizada circular si además, A1 = A2

3. El sentido de giro de la elipse será dextrógiro si 0 < δ < π, mientras que el sentido de giro será

levógiro: si π < δ < 2π. Esto se puede deducir, analizando la evolución de las componentes del

vector _E en t = 0.

2.2.3 Polarizadores

Para la luz natural (monocromática), todos los estados de δ, A1 y A2 son equiprobables, es decir que

< cos(δ) >= 0, < A21

>=< A22

>. Los polarizadores son unos dispositivos que permiten obtener luz

polarizada lineal a partir de luz natural. Los polarizadores se caracterizan por la presencia de un eje de

polarización, que indica la dirección en que la luz sale linealmente polarizada. Si enviamos luz polarizada

lineal tal que el vector campo eléctrico vibre en una dirección que forme un ángulo α con el eje de

polarización, la intensidad que se detectará a la salida será I _E0_2 cos2(α), resultado conocido como

la ley de Malus.

Cualquier dispositivo que modifique activamente el estado de polarización de la luz puede ser descrito

por una matriz de 4×4 elementos (matriz de Mueller, M). La luz se describe mediante un vector de

cuatro componentes (vector de Stokes, _S ). La luz resultante (_S _) se relaciona con la inicial a partir de la

expresión _S _ = M_S. El vector de Stokes _S = (I,M,C,S) se define como

38 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Figura 2.5: Polarización: casos particulares

_S

=



I

M

C

S



=

1

A21

+ A22



A21

+ A22

A21

A22

2A1A2 cos(δ)

2A1A2 sin(δ)



. (2.31)

Algunos ejemplos:

Figura 2.6: Polarización: ley de Malus

2.3. PROPAGACI ÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCI ÓN 39

1. Luz polarizada lineal según eje x: (1, 1, 0, 0).

2. Luz polarizada lineal según eje y: (1,1, 0, 0).

3. Luz polarizada circular dextrógira: (1, 0, 0, 1).

4. Luz polarizada circular levógira: (1, 0, 0,1).

5. Luz natural: (1, 0, 0, 0).

Un polarizador lineal, cuyo eje de polarización forma un ángulo α con el eje y, se describe como



1 cos(2α) sin(2α) 0

cos(2α) cos2(2α) sin(2α) cos(2α) 0

sin(2α) sin(2α) cos(2α) sin2(2α) 0

0 0 0 0



. (2.32)

2.3 Propagación, reflexión y refracción

2.3.1 Deducción de las leyes de la Óptica Geométrica

Una onda incide sobre una superficie que separa dos medios dieléctricos isótropos de índices n y n_ (véase

la figura 2.7). Al interaccionar con la superficie de separación, parte de la energía vuelve al primer medio y

parte se transmite al segundo medio. Puesto que en la superficie de separación se verifican las condiciones

de contorno (ecuación 2.4), y en el caso particular que estamos considerando la densidad superficial de

carga y las corrientes superficiales son nulas, podemos escribir la continuidad de las componentes del

campo:

Componentes normales: Dn

2 = Dn

1 Bn

2 = Bn

1 (2.33)

Componentes tangenciales: Et2

= Et1

Ht2

= Ht1

. (2.34)

Si tomamos, por ejemplo, la continuidad de la componente tangencial y de los campos eléctricos en

la superficie de separación de medios (que por comodidad tomaremos en z = 0); podremos escribir:

Ey + E__

y = E_

y. Desarrollando esta expresión tenemos

Ayeip(ctn(αx+βy)) + A

__

yeip

__

(ctn(α

__

x+β

__

y)) = A

_

yeip

_

(ctn

_

(α

_

x+β

_

y)), (2.35)

donde Ay, A_

y y A__

y son las amplitudes tangenciales de los campos incidente, transmitido y reflejado

y p = ω/c, p_ = ω_/c y p__ = ω__/c. El punto considerado (x, y, 0) es un punto de la superficie de

separación de los medios. Los vectores que indican la dirección de propagación de la fase son _s = (α, β, γ),

_s_ = (α_, β_, γ_), _s__ = (α__, β__, γ__).

La expresión de continuidad se debe verificar en cualquier momento y para cualquier punto. Por lo tanto,

no puede depender de las variables espaciales o temporales. La única manera de que las variables no

estén presentes en la ecuación es que las tres fases sean iguales y, en consecuencia, se puedan cancelar.

Esto pasa si se verifica:

40 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Figura 2.7: Deducción de las leyes de la reflexión y de la refracción

pc = p_c = p__c : La frecuencia no cambia al cambiar de medio la onda, ni al producirse una reflexión.

Sin embargo, dado que la velocidad de la luz es dependiente del medio, la longitud de onda cambia,

al cambiar de medio. La longitud de onda de un campo propagándose en un medio de índice n se

relaciona con la longitud de onda en el vacío (λ0), mediante la relación λ = λ0/n.

= n_β_ = __ : Si se hace una rotación de ejes de manera que β = 0, esto implica necesariamente

que β_ = β__ = 0, con lo que se prueba que el rayo incidente, el reflejado y el transmitido están en

el mismo plano.

= n_α_ = __ : Como la luz que se refleja vuelve al primero medio (n = n__), obtenemos que α = α__.

Proyectando esta componente sobre el eje x, tenemos que _ = ___ (ley de la reflexión). Por otra parte,

como se verifica que = n_α_, entonces tenemos que n sin(_) = n_ sin(__) (ley de la refracción).

2.3.2 Fórmulas de Fresnel

En esta sección estudiaremos los valores que toma la amplitud del campo al cambiar de medio o reflejarse,

en función de la amplitud incidente. Sea un frente de onda que avanza según la dirección _s. Consideremos

un campo eléctrico polarizado linealmente, que vibra en el plano definido por el frente de onda. Para

hacer que el planteamiento del problema sea más claro, proyectaremos el vector campo eléctrico sobre

dos ejes: un eje en el plano xz (eje paralelo) y un eje perpendicular al anterior, que es paralelo al eje y

(eje perpendicular) y analizaremos cada caso por separado. El plano xz es el plano de incidencia.

Campo E paralelo al plano de incidencia _E||

Consideremos el primero caso, indicado en la figura 2.8. Tomemos la proyección del campo eléctrico

sobre el plano zx. La dirección del campo magnético queda definida por la relación _H = n_s _E . Puesto

que no hay otros campos presentes en el problema que puedan modificar la dirección de los campos, las

direcciones de éstos son las que se muestran en la figura 2.8. El sentido del campo eléctrico es tal que la

componente x sea positiva. Los campos se escriben:

_ E|| =

_ A|| exp(ip(ct

n

_r

_

s))

2.3. PROPAGACI ÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCI ÓN 41

Figura 2.8: Fórmulas de Fresnel. Campo E paralelo al plano de incidencia

_E

__

|| = _A

__

|| exp(ip

__(ct n

__

_r_s

_))

_E

_

|| = _A

_

|| exp(ip

_(ct n

_

_r_s

__)). (2.36)

Para simplificar la nomenclatura escribiremos los módulos de la siguiente manera A|| = __ A||_, A_

|| = __A_

||_

y A__

|| = __A__

||_. Para deducir la relación entre las amplitudes, operaremos de la manera siguiente:

1. Se proyecta la componente tangencial x del campo eléctrico y se aplica la condición de continuidad.

2. Se proyecta la componente tangencial y del campo magnético y se aplica la condición de continuidad.

3. Se escribe el campo magnético en términos del campo eléctrico. De esta manera se obtiene un

sistema de ecuaciones lineal con dos incógnitas (A_

|| y A__

||), la solución del cual es

A

_

|| = A||

2 sin(__) cos(_)

sin(__ + _) cos(__ _)

(2.37)

A||__ = A|| tan(__ _)

tan(__ + _) . (2.38)

Campo E perpendicular al plano de incidencia _E

El segundo caso a considerar es análogo al anterior, pero ahora el campo eléctrico es perpendicular al

plano zx, según se indica en la figura 2.9. El campo eléctrico se ha tomado en el sentido positivo del

42 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

eje y. Operando de la misma forma que en el caso anterior, se obtiene la relación entre la amplitud

de los campos eléctricos transmitido y reflejado en función del incidente, para el caso de polarización

perpendicular.

Figura 2.9: Fórmulas de Fresnel. Campo E perpendicular al plano de incidencia

A

_

= A

2 sin(__) cos(_)

sin(_ + __)

(2.39)

A

__

= A

sin(__ _)

sin(_ + __) . (2.40)

Las ecuaciones 2.37-2.40 reciben el nombre de fórmulas de Fresnel. Habitualmente se trabaja con los

coeficientes de reflexión y transmisión, que se definen

r|| =

A__

||

A||

t|| =

A_

||

A||

r = A__

A

t = A_

A

. (2.41)

2.3.3 Análisis de los coeficientes de transmisión y reflexión

A continuación se muestra la variación de los cuatro coeficientes de Fresnel en función del ángulo de

incidencia _. Algunos casos de particular interés son:

Incidencia normal (_ = 0):

2.3. PROPAGACI ÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCI ÓN 43

t|| = t =

2n

n + n_ (2.42)

r|| = r = n n_

n + n_ . (2.43)

Angulo de Brewster. Tenemos incidencia con ángulo de Brewster cuando A__

|| = 0. En este caso, la

componente reflejada presenta exclusivamente polarización perpendicular. Esto pasa cuando

tan(_B) = n_

n

(2.44)

Angulo límite. Ángulo de incidencia para el que __ = π/2:

sin(_l) = n_

n

. (2.45)

Este ángulo sólo tiene sentido cuando n_ < n.

Figura 2.10: Coeficientes de transmisión y reflexión.

Caso n = 1 y = 1.5

Figura 2.11: Coeficientes de transmisión y reflexión.

Caso n = 1.5 y = 1

Cuestiones interesantes que podemos extraer del análisis de las figuras:

En incidencia normal y para valores peque˜nos del ángulo de incidencia, los coeficientes de reflexión

paralelo y perpendicular son iguales. Lo mismo pasa con los coeficientes de transmisión.

Valores negativos. La presencia de estos valores en los coeficientes indica que el sentido arbitrario

que atribuimos a los campos al hacer la deducción de las fórmulas de Fresnel no es apropiado en

este caso.

Para ángulos superiores al límite, no existe onda transmitida.

44 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

La amplitud transmitida puede superar el valor de la incidente. Esto no viola ningún principio de

conservación, ya que no debe confundirse la amplitud de la onda con su energía, la cual, obviamente,

se conservará.

Además se puede verificar que

r|| = r

_

|| r = r

_

t||t

_

|| = 1r2

|| tt

_

= 1r2

, (2.46)

donde los coeficientes r||, t||, r y t se calculan pasando la luz del medio de índice n al de n_, mientras

que los coeficientes r_

||, t_

||, r_

y t_

se calculan haciendo el paso en sentido inverso, es decir, de n_ a n.

Estudio de los casos de incidencia rasante y normal

El estudio de los cambios de signo en el factor de reflexión paralelo debe ser realizado con atención.

Analizaremos los casos extremos de incidencia rasante (_ = π/2) e incidencia normal (_ = 0). Es

necesario tener presente las figuras 2.8 y 2.9.

CASO A: n < n_:

Incidencia normal. Los coeficientes de reflexión paralelo y perpendicular son negativos; el

vector campo eléctrico reflejado apunta siempre en sentido contrario al del dibujo (véanse las

figuras 2.8 y 2.9). Observamos que entre el campo incidente y el reflejado hay un cambio de

fase π para los casos || y .

Incidencia rasante. El coeficiente paralelo es positivo; por lo tanto, el sentido del vector es

correcto. En el caso perpendicular el sentido no es correcto. Por lo tanto, el campo incidente y

el reflejado están siempre en oposición de fase. Si extrapolamos estos argumentos para ángulos

de incidencia intermedios, se puede inferir que siempre se tiene un cambio de fase π en la

reflexión.

Transmisión. Los coeficientes son siempre positivos. No hay ningún cambio en la orientación

arbitraria de los vectores y, por lo tanto, podemos asegurar nunca hay cambio de fase π.

CASO B: n > n_: Haciendo el mismo razonamiento que en el caso anterior, podemos asegurar que,

en estas condiciones, nunca se produce un salto de fase π, ni en reflexión ni en refracción.

2.3.4 Factores de transmisión y reflexión en intensidad

Definimos los factores de transmisión como el cociente entre la intensidad transmitida y la incidente. Es

necesario definir un factor para la componente paralela y otro para la perpendicular. Recordemos que la

intensidad se define como la media temporal de la energía radiada por unidad de tiempo y de superficie.

La definición de intensidad exige que la detección se realice con un detector situado normalmente a la

dirección de propagación Recordemos que la intensidad detectada vale I = cn

8πA2.

Consideremos la situación de la figura 2.12. Una onda plana incide sobre una superficie de separación de

medios con un ángulo _ respecto a la normal y se refracta formando un ángulo __. La comparación entre

los vectores de Poynting se hará en la superficie de separación de los medios, aplicando el principio de

conservación de la energía. __S_ cos(_) es la energía que incide en la superficie de separación por unidad

2.3. PROPAGACI ÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCI ÓN 45

Figura 2.12: Obtención de los factores de transmisión en intensidad

de superficie. Análogamente, __S__ cos(__) es la energía transmitida. Por lo tanto, el factor de transmisión

en intensidad de la componente paralela será

T|| =

I_

||

I||

=

< _S_

||_ > cos(__)

< _S||_ > cos(_)

= A||_2n_ cos(__)

A||2n cos(_)

(2.47)

y, para la componente perpendicular,

T = A_2

n_ cos(__)

A2

n cos(_) . (2.48)

Si consideramos el factor de reflexión, _ = ___ y n = n_, y por lo tanto, se puede escribir

R|| =

A__2

||

A2

||

R = A__2

A2

. (2.49)

Como es natural, se debe verificar que

R|| + T|| = 1 R + T = 1 (2.50)

y, para el caso de incidencia normal,

T|| = T =

4nn_

(n + n_)2 R|| = R =

_

n n_

n + n_

_2

. (2.51)

46 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

2.3.5 Estudio de la Reflexión Total

Cuando la luz llega a una superficie de separación de medios (n_ < n) con un ángulo superior al ángulo

límite, toda la luz vuelve al primer medio. Recordemos que el ángulo límite se obtiene cuando se verifica

que n sin(_l) = n_ sin(π/2). Definamos N como, N = sin(_l) = n_/n.

La ley de Snell tiene un claro significado geométrico cuando trabajamos con medios dieléctricos y en las

condiciones habituales. Podemos hacer la hipótesis siguiente: la ley de la refracción tiene una validez

formal más allá de su significado intuitivo. Consideremos una onda plana incidente sobre una superficie

de separación de medios con un ángulo _ > _l y n > n_. Aceptando la validez formal de la ley de Snell

podremos escribir sin(__) = sin(_)/N. En el estudio que estamos realizando, sin(__) > 1, y el valor de

cos(__) será, por tanto:

cos(_

_) = } i

N

_

sin2(_) N2, (2.52)

donde cos(__) es una magnitud imaginaria. Más adelante, por consideraciones de conservación de la

energía, se despreciará el signo +. Conociendo el valor de sin(__) y de cos(__) podemos aplicar ahora

las fórmulas de Fresnel. Analizando la figura 2.11, puede comprobarse que los factores de reflexión

perpendicular y paralelo toman el valor 1 y 1 respectivamente, para ángulos de incidencia superiores al

límite. Podemos estudiar con mayor detalle estos valores del ángulo de incidencia: las fórmulas del factor

de reflexión para los dos casos de polarización son:

r

__

|| =

tan(__ _)

tan(__ + _)

r

__

=

sin(__ _)

sin(__ + _) .

Puesto que conocemos los valores de sin(_), cos(_), sin(__) y cos(__), podemos escribir las fórmulas de

Fresnel en términos de valores conocidos. Después de hacer unas cuántas operaciones obtenemos que

r

__

|| = e(_,n,n

_

) r

__

= e(_,n,n

_

). (2.53)

Éste es un resultado interesante: los coeficientes de reflexión son complejos y de módulo 1. El valor de la

amplitud no varía pero la onda incidente y reflejada estén desfasadas. La onda reflejada paralela tendrá

por ecuación

_E

__

|| = _ A||r|| exp(ip(ct n_r_s

__)) = _ A|| exp(ip(ct n_r_s

__) + ), (2.54)

mientras que la componente perpendicular será

_E

__

= _ Ar exp(ip(ct n_r_s

__)) = _ A exp(ip(ct n_r_s

__) + ). (2.55)

La onda reflejada estará polarizada eliptícamente y sus componentes estarán desfasadas φ θ. Este

desfase depende de n y n_ y puede variarse en función del ángulo de incidencia _.

2.3. PROPAGACI ÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCI ÓN 47

Figura 2.13: Reflexión total Figura 2.14: Reflexión total frustrada

.Tiene sentido hablar de luz transmitida? A simple vista, puesto que toda la luz vuelve al primero medio,

parece una pregunta sin sentido. No obstante, intentemos escribir la onda en el segundo medio:

_E

_ = _A

_ exp(ip(ct _r_s

_)) = _A exp(ip(ct n

_(x sin(_

_) + z cos(_

_))). (2.56)

También podemos escribir el valor de sin(__) y cos(__) en términos del sin(_),

_E

_ = _A exp

_

ip

_

ct n

_

_

x

sin(_)

N

+ z(

}i

N

_

sin2(_) N2

___

(2.57)

y operando,

_E

_ = _A exp

}

pn_

_

sin2(_) N2

N

z

exp

_

ip(ct x

sin(_)

N

n

_)

_

. (2.58)

La interpretación de esta ecuación es la siguiente:

El término de amplitud presenta una caída exponencial a medida que se penetra en el segundo

medio. Despreciamos el signo + de la exponencial real ya que se trata de una solución sin sentido

físico, que daría lugar a una onda que aumentaría indefinidamente su amplitud.

La dirección del vector de fase es _s = (1, 0, 0): la onda se propaga en la interfase de los dos medios.

El modelo demuestra la existencia de una onda que penetra unas pocas longitudes de onda en el segundo

medio. Esto se corrobora experimentalmente mediante un fenómeno denominado Reflexión total frustrada

o Efecto Túnel Óptico: cuando el segundo medio es una lámina de grosor muy peque˜no, y se envía

una onda con un ángulo superior al límite, se puede observar que ésta se transmite completamente sin

reflejarse. La explicación satisfactoria de este fenómeno debe buscarse en la Física Cuántica, que elimina

las inconsistencias de nuestro razonamiento: la onda de la interfase es la misma que después se detecta

como reflejada.

48 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

2.4 Óptica de medios conductores

2.4.1 Propagación en medios conductores

Consideremos un medio que presenta conductividad σ _= 0. Los metales tienen valores de σ muy altos,

pero los dieléctricos reales también pueden tener conductividades diferentes de cero. Si este medio es,

además, no magnético (μ = 1) y sin densidad volumétrica de carga (ρ = 0), las ecuaciones de Maxwell se

escriben

_∇∧ _H =

4π

c

σ_E + _

c

∂_E

∂t

_∇∧ _E = μ

c

∂_H

∂t

__E = 0

__H = 0, (2.59)

donde _j = σ_E.

Podemos ensayar el uso de una onda armónica, _E = _E0ei(ωtkrs), como solución de las ecuaciones de

Maxwell en medios con conductividad. La derivada temporal de una onda armónica es proporcional a

ella misma,

∂_E

∂t

= iω_E0ei(ωtkrs) = iω _ E. (2.60)

La primera ecuación de Maxwell se puede escribir como:

_∇∧ _H = (4πσ

ω

i + _)

1

c

∂_E

∂t

, (2.61)

que es formalmente idéntica a la ecuación de Maxwell que se aplica en el caso de medios dieléctricos. Es

necesario hacer la identificación de la permeabilidad dieléctrica _ con una función de la permeabilidad

generalizada ˆ_ = _ 4πσ

c i. Si σ = 0, obtenemos de nuevo la permeabilidad ordinaria de los medios

dieléctricos ideales. Podemos calcular también el índice de refracción generalizado ˆn, a partir de la

relación ˆn2 = ˆ_. Elíndice complejo es ˆn = n , donde n es el índice de refracción ordinario y κ es el

denominado coeficiente de extinción. Identificando términos y aislando n y κ podemos escribir

n =

_

_

2

+

_

_2

4

+

4π2σ2

ω2

_1/2

κ =

_

_

2

+

_

_2

4

+

4π2σ2

ω2

_1/2

. (2.62)

En el caso particular en que σ/ω >> _, entonces

n κ

_

2πσ/ω, (2.63)

2.4. ÓPTICA DE MEDIOS CONDUCTORES 49

fórmula conocida como la relación de Drude.

La solución a la ecuación de ondas en un medio con σ _= 0 será

_E

= _E0eip(ctˆnrs) = _E0e

κprseip(ctnrs) (2.64)

Vemos que es una ecuación similar a la que se obtiene cuando las ondas se propagan libremente en un

medio dieléctrico. Sin embargo, la amplitud decae exponencialmente a medida que la onda se propaga.

Analicemos como se transmite una onda electromagnética desde un medio dieléctrico a un medio metálico.

En esta sección utilizaremos los ángulos θ y θ_ para referirnos a los ángulos de incidencia y refracción,

para evitar confusiones con la permeabilidad dieléctrica _. Aplicando las condiciones de contorno en un

cambio de medio, podríamos deducir de nuevo la fórmula de Snell de la refracción, para este caso. Lo

que obtendríamos es una expresión de aspecto familiar,

n sin(θ) = ˆn

_ sin(ˆθ

_), (2.65)

aunque notablemente diferente en cuanto a su interpretación. Ahora, el índice del segundo medio es

complejo y ˆθ_ es también complejo. El producto ˆn_ sin(ˆθ_) es real, pero ˆn_ cos(ˆθ_) = a bi, en general no

lo será. La onda en el segundo medio se escribirá

_E

_ = _E0eip(ctˆn

_

rs) = _E0 exp(ip(ct ˆn

_(x sin(ˆθ

_) + z cos(ˆθ

_)))), (2.66)

y operando obtendremos

_E

_ = _E0eip(ctˆn

_

rs) = _E0eip(ct(xn sin(θ)+za))e

pbz. (2.67)

La onda se amortigua rápidamente a medida que penetra en un medio conductor. Además, la onda se

propaga en la dirección _s_ = (n sin(θ), 0, a). Por lo tanto, el ángulo de refracción (con sentido físico) es

tan(θ

_) = n sin(θ)

a

. (2.68)

Por otra parte, la mayor parte de la luz se refleja. Por ejemplo, si calculamos el factor de reflexión R

para incidencia normal desde el aire a un metal, se obtiene

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R = _1 ˆn

1 + ˆn

_2 1 2

σT

. 1 (2.69)

Esto explica la razón por la que se utilizan recubrimientos metálicos para fabricar espejos.

50 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

2.5 Óptica de medios anisótropos

2.5.1 Nomenclatura

Los medios anisótropos se caracterizan por presentar propiedades ópticas diferentes según la dirección

considerada. Esto es típico de los materiales cristalinos. En general, el vector campo eléctrico _E y el vector

desplazamiento _D están relacionados por la relación _D = __E donde _ se un tensor de 3×3 elementos. Es

posible demostrar que este tensor se simétrico y, por lo tanto, diagonaliza en una cierta base de vectores

ortogonales.

_ =



_x 0 0

0 _y 0

0 0 _z



. (2.70)

Podemos definir el tensor de índices,



nx 0 0

0 ny 0

0 0 nz



=



_x 0 0

0

_y 0

0 0

_z



, (2.71)

así como las velocidades principales,

vx = c

_x

vy = c

_y

vz = c

_z

. (2.72)

Estas variables contienen información de la física del problema y más adelante serán analizadas con mayor

detalle.

2.5.2 Ecuaciones de Maxwell. Soluciones

Consideramos un medio dieléctrico anisótropo, no magnético (μ = 1), sin conductividad (σ = 0) ni

densidad de carga (ρ = 0). En estas condiciones, las ecuaciones de Maxwell se escriben:

_∇∧ _H =

1

c

∂_D

∂t

_∇∧ _E = 1

c

∂_H

∂t

__D = 0

__H = 0. (2.73)

La solución de ondas planas armónicas para estas ecuaciones será

_E

= _E0 exp(ip(ct n_r_s))

_H

= _H0 exp(ip(ct n_r_s))

_D

= _D0 exp(ip(ct n_r_s)), (2.74)

donde n = c

vn

es el índice de refracción y vn es la velocidad de fase. Introduciendo estas soluciones en las

ecuaciones de Maxwell, y calculando las derivadas espaciales y temporales correspondientes, obtenemos

las siguientes condiciones:

2.5. ÓPTICA DE MEDIOS ANIS ÓTROPOS 51

n(_H _s) = _D

n(_s _E ) = _H

_ H_s = 0

_D_s = 0. (2.75)

De cada ecuación se deduce una condición:

1. _D es perpendicular al plano formado por _H y _s.

2. _H es perpendicular al plano formado por _s y _E .

3. _H y _s son perpendiculares.

4. _D y _s son perpendiculares.

Combinando estas cuatro ecuaciones y haciendo desaparecer el campo magnético podemos escribir,

_D

= n2(_E _s( _E_s)) (2.76)

Manipulando esta ecuación, podemos escribir las componentes del vector _D ,

Di = c2 _E_s

v2

i

v2n

si, (2.77)

de donde se deduce que la dirección del vector _D es constante, y por lo tanto, que la luz está linealmente

polarizada. Multiplicando _D por _s se deduce la siguiente relación:

s2

x

v2x

v2n

+

s2

y

v2

y

v2n

+ s2z v2

z

v2n= 0. (2.78)

Como podemos ver a la izquierda de la figura 2.15, los vectores _E , _H , _D, _s y _S se disponen de la manera

que se indica. El vector de Poynting es proporcional al producto vectorial _E _H . La dirección del rayo,

y por lo tanto, la dirección de la propagación de la energía no coincide con la dirección del vector normal

al frente de onda _s.

La ecuación 2.78 aporta mucha información: _s = (sx, sy, sz) es el vector normal al frente de onda e

indica su dirección de propagación. Por otra parte, vx, vy y vz son parámetros que vienen fijados por

el medio, puesto que se expresan directamente en términos de las componentes del tensor dieléctrico, y

vn es la velocidad que puede tomar el frente de onda. Fijado el medio y la dirección de propagación _s,

la fórmula 2.78 resulta una ecuación cuya incógnita es vn. Se puede comprobar que esta ecuación tiene

dos soluciones para vn, que denominaremos vn1 y vn2. Por lo tanto, para una posible dirección del frente

de onda, se pueden propagar dos ondas que viajan con velocidades diferentes. Se puede comprobar que

las polarizaciones de estas ondas (_D1 y _D2), verifican _D1_D2 = 0. Por otra parte, aunque la dirección

de propagación de la fase sea común, la dirección del rayo de cada onda es diferente. Estos resultados

se muestran gráficamente en la figura 2.15. Definición: Las direcciones _s que verifican que vn1 = vn2 se

denominan Ejes Ópticos.

52 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Figura 2.15: Campos propagándose en un medio anisótropo

_x = _y = _z Sistema equivalente a un medio homogéneo

_x = _y _= _z Sistema uniaxial (un eje óptico)

_x _= _y _= _z Sistema biaxial (dos ejes ópticos)

Podemos distinguir tres casos:

En el primer caso considerado, los valores de la diagonal del tensor dieléctrico son iguales y, por lo tanto,

es como si _ fuera un escalar; se puede asimilar este caso a la propagación en un medio homogéneo. Esto es

lo que pasa con los materiales que cristalizan en el sistema cúbico. El segundo caso se da en determinados

materiales que cristalizan según los sistemas hexagonal, tetragonal o trigonal. Desde el punto de vista

óptico presentan la característica de tener un eje óptico. Los cristales que no tienen ninguna dirección

de simetría y los tres elementos del tensor dieléctrico son diferentes, tienen dos ejes ópticos.

2.5.3 Medios uniaxiales

Ahora estudiaremos con más detalle los medios uniaxiales. Partimos de la ecuación 2.78. En los medios

uniaxiales se verifica que _x = _y o, lo que es el mismo, vx = vy. Denominaremos vx = vy = vo (velocidad

ordinaria). En los medios uniaxiales la ecuación 2.78 toma la forma

(v2

o

v2n

)

_

(v2

z

v2n

) sin2(α) + (v2

o

v2n

) cos2(α)

_

= 0, (2.79)

donde hemos escrito el vector _s en coordenadas esféricas:

sx = sin(α) cos(β)

sy = sin(α) sin(β)

sz = cos(α), (2.80)

2.5. ÓPTICA DE MEDIOS ANIS ÓTROPOS 53

α es el ángulo que forma el vector _s con el eje z y β es el ángulo que forma la proyección del vector _s en

el plano xy con el eje x. Recordemos que la base de vectores que se está utilizando es aquella en la que el

tensor dieléctrico diagonaliza. Esta ecuación tiene, como ya comentamos anteriormente, dos soluciones,

que en este caso son

vn1 = vo

v2n

2 = v2

o cos2(α) + v2

z sin2(α). (2.81)

La primera de las soluciones para la velocidad de fase no depende de la dirección _s considerada y es igual

a vo. Por lo tanto, la velocidad de fase de una de las ondas será siempre vo (de igual manera que se

propagaría una onda en el interior de un dieléctrico homogéneo e isótropo). Como consecuencia de esto,

un emisor puntual en el interior de un medio anisótropo uniaxial generaría una onda esférica.

La segunda de las soluciones indica que la onda se propaga con velocidades diferentes según la dirección

considerada. vn2 es la velocidad extraordinaria. La dirección del eje óptico la encontraremos igualando

las dos velocidades de fase obtenidas, vn1 = vn2. Esta relación se verifica cuando α = 0, es decir, cuando

el eje óptico coincide con la dirección ‘z’ (dirección del vector propio del tensor dieléctrico correspondiente

al valor propio _z).

La solución vn2 es la ecuación de una elipse, lo que indica que los frentes de onda asociados son elípticos.

Por lo tanto, un emisor puntual en el interior de este medio generaría un frente de onda con forma de

elipsoide de revolución.

Figura 2.16: Eje óptico y frentes de onda

La figura 2.16 muestra los dos frentes de onda generados. Existe una dirección (eje z) en la que los dos

frentes de onda se han propagado a la misma velocidad: es el eje óptico. Un problema interesante que

podemos estudiar es el comportamiento de una onda plana que incide normalmente sobre una lámina

planoparalela de material anisótropo uniaxial, como por ejemplo, la calcita.

La figura 2.17 ilustra el experimento. Una onda plana incide normalmente, y por lo tanto, el vector normal

al frente de onda _s no se desvía al cambiar de medio (ángulo de incidencia, 00, ángulo de refracción 00).

En el interior del medio uniaxial viajarán dos ondas, las polarizaciones de las cuales serán normales entre

si. La dirección de la energía vendrá dada por el vector de Poynting _S = c

4π

_E

_H . En un medio uniaxial,

una de las ondas se comporta como si se propagara en un medio ordinario, por lo tanto, la dirección del

54 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Figura 2.17: Onda ordinaria y extraordinaria en un medio uniaxial

vector de fase _s y la del vector de Poynting son coincidentes. En cambio, para la onda extraordinaria

estos dos vectores tendrán direcciones diferentes. Además, estas dos ondas se propagan con velocidades

de fase vn1 y vn2 y, por lo tanto existirá un desfase entre ellas.

Cuando los frentes de onda llegan al segundo plano de separación de medios, se producirá una nueva

refracción. En el caso de la onda ordinaria, el vector de fase incide normalmente y por lo tanto la

onda no se desvía. En cuanto a la onda extraordinaria, la dirección del rayo forma un cierto ángulo

con la superficie de separación. En cambio, el vector de fase incide normalmente sobre esta superficie.

Como vimos anteriormente, al deducir la ley de la refracción, ésta se aplica sobre la dirección del vector

de fase _s y no sobre la dirección del rayo _S (que en el caso de los medios dieléctricos ordinarios son

coincidentes). Por lo tanto, se trata también de incidencia normal y, en consecuencia las dos ondas,

ordinaria y extraordinaria, salen con direcciones del vector de Poynting paralelas.

Visualmente, si observamos un objeto interponiendo un cristal de calcita con caras planoparalelas, observaremos

que la imagen se desdobla. Una imagen aparece justo en la misma posición donde está el objeto

(onda ordinaria) y la otra sale desplazada (onda extraordinaria). Utilizando un polarizador verificaríamos

que estas dos ondas están polarizadas linealmente y sus direcciones de polarización son normales entre

sí.

2.5.4 Láminas retardadoras

Un ejemplo interesante de dispositivo óptico basado en los materiales anisótropos uniaxiales son las

láminas retardadoras. Para cualquier dirección de propagación de la fase pueden viajar dos ondas con

polarizaciones perpendiculares entre sí. Consideremos una lámina planoparalela de un material uniaxial,

de grosor d y cortada de manera que el eje óptico sea paralelo a las caras de la lámina. Al incidir

normalmente un haz de luz sobre ésta, en el interior de la lámina se propagarán dos ondas: como se

trata de un medio uniaxial, la onda ordinaria viajará sin cambiar de dirección. Sin embargo, como que

el eje óptico es paralelo a las caras, el rayo asociado a la onda extraordinaria también se propagará en

2.5. ÓPTICA DE MEDIOS ANIS ÓTROPOS 55

Figura 2.18: Propagación según una dirección normal

al eje óptico

Figura 2.19: Propagación según el eje óptico

la misma dirección, según se indica en la figura 2.18. Ahora bien, los dos rayos llegarán desfasados a la

segunda cara de la lámina, puesto que el índice de refracción es diferente para cada uno. Por lo tanto,

tenemos dos ondas desfasadas con polarizaciones ortogonales entre sí y que viajan en la misma dirección.

En general, tendremos luz polarizada elíptica. El desfase entre las dos componentes se calcula haciendo:

δ =

2π

λ

ned 2π

λ

n0d. (2.82)

donde n0 = c/v0 y ne = c/ve. Por lo tanto, tomando d de forma apropiada, podemos obtener láminas

que generen, por ejemplo, un desfase de π/2 entre ambas componentes tomando d = λ/4(ne n0)

(denominadas láminas λ/4). Las láminas que generan un de desfase π se denominan láminas λ/2. Con

una lámina λ/4 y polarizadores lineales se puede obtener fácilmente luz polarizada circular.

Un último comentario: si el eje óptico fuese perpendicular a las caras de la lámina, no apreciaríamos

ningún desfase entre las dos componentes ya que las dos ondas se propagan a la misma velocidad (véase

la figura 2.19).

56 CAPÍTULO 2. ÓPTICA ELECTROMAGNÉTICA

Capítulo 3

Interferencias

3.1 Coherencia

3.1.1 Coherencia temporal y monocromaticidad

Un sistema físico aislado (piénsese en un átomo, por ejemplo). con sus niveles energéticos perfectamente

definidos es una idealización que permite explicar la existencia de ondas monocromáticas. Si este sistema

se encuentra en el nivel de energía W2 y pasa a un estado de energía W1 tal que W2 > W1, la física

cuantica predice que se genera un fotón cuya longitud de onda verifica λ0 = hc/(W2 W1), donde h

es la constante de Planck. Si el sistema considerado no es ideal sus niveles energéticos pueden estar

degenerados, y los fotones que se emitan tendrán una longitud de onda que fluctuará en el intervalo

[λ0 Δλ, λ0+Δλ]. Además, las transiciones energéticas posibles entre la banda de energía 2 y la banda

1 no tienen que ser equiprobables. Podemos definir, por lo tanto, una distribución P(λ) que indique la

probabilidad de generar un fotón con una cierta longitud de onda. Algunas causas que hacen que los

niveles energéticos estén degenerados pueden ser el efecto Doppler como consecuencia de la agitación

térmica o bien las colisiones entre las partículas que formen el material. En estos casos, la forma de P(λ)

es aproximadamente como la que muestra la figura 3.1, mientras que en el caso ideal P(λ) = δ(λ λ0).

Figura 3.1: Distribución P(λ)

El campo eléctrico asociado a una onda plana ideal es _E = _a exp(i(wt kx)), donde la amplitud |_a|

será constante, en valor y dirección. En el caso no ideal, la onda que obtendremos se escribirá como

superposición (suma) de ondas monocromáticas, es decir:

57

58 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

_E

=

λ0_+Δλ

λ0Δλ

_a(λ) exp(i(w(λ)t kx)), (3.1)

donde |_a(λ)| se relaciona directamente con P(λ) y, si la longitud de onda en el sumatorio anterior es

una variable continua, la ecuación anterior se convertirá en una integral. Un análisis en profundidad de

las matemáticas involucradas en la expresión anterior nos aportará un resultado muy interesante: una

onda real, suma de diferentes contribuciones monocromáticas, está limitada en el espacio y constituye lo

que se denomina un paquete de ondas. La longitud física del paquete de ondas se denomina longitud de

coherencia, lc (véanse las figuras 3.2 y 3.3). Cuando más monocromática es la onda (cuando más estrecha

sea la distribución P(λ) de la figura 3.1), mayor es lc: en el límite, una onda plana es perfectamente

monocromática y su longitud de coherencia es infinita.

Figura 3.2: Longitud de coherencia finita Figura 3.3: Longitud de coherencia infinita: onda

plana

Cuando se genera un paquete de ondas, se introduce una fase inicial aleatoria φ. Dos paquetes de ondas

tendrán fases iniciales diferentes. Es necesario utilizar iluminación láser en los experimentos de interferencias

para evitar los problemas derivados de la coherencia. Los láseres presentan una alta monocromaticidad,

y por lo tanto, sus longitudes de coherencia son muy elevadas.

3.1.2 Condiciones para obtener imágenes de interferencia estables

En general, cuando dos ondas _E1 y _E2 se encuentran en el espacio, no interaccionan de forma apreciable.

Ahora bien, si se verifican unas determinadas condiciones, estas ondas pueden generar una distribución de

intensidad con zonas donde la energía se potencia y otras en las que la energía disminuye. Las condiciones

para obtener imágenes de interferencia estables son cuatro:

1. Las ondas que interfieren deben ser coherentes.

2. Las ondas deben tener la misma frecuencia.

3. Los campos eléctricos deben ser paralelos.

4. Las amplitudes de los campos deben ser iguales.

Tomamos dos ondas planas de polarización, amplitud, frecuencia, fase inicial y dirección de propagación

diferentes, que se superponen en un punto del espacio P:

_E

1 = _A1 exp(i(w1t k1_rP_s1 + φ1)) _E2 = _A2 exp(i(w2t k2_rP_s2 + φ2)). (3.2)

3.1. COHERENCIA 59

Si captamos la intensidad en este punto P tendremos

I

___

_E

1 + _E2

___

2

=

___

_A

1 exp(i(w1t k1_rP_s1 + φ1)) + _A2 exp(i(w2t k2_rP_s2 + φ2))

___

2

, (3.3)

y desarrollando,

I

___

_A

1

___

2

+

___

_A

2

___

2

+

___

_A

1

___

___

_A

2

___

ei(w1tk1rP s1+φ1)e

i(w2tk2rP s2+φ2) cos(θ12) +

___

_A

1

___

___

_A

2

___

e

i(w1tk1rP s1+φ1)ei(w2tk2rP s2+φ2) cos(θ12), (3.4)

donde θ12 es el ángulo formado por los dos vectores campo eléctrico. Esta intensidad es función del tiempo.

Las variaciones que presenta esta función serán muy rápidas en el rango de las frecuencias ópticas. Por

lo tanto, la magnitud que se detectará será la media temporal de la intensidad. Para apreciar fenómenos

interferenciales deben cumplirse las condiciones expuestas anteriormente:

Las ondas que interfieren deben ser coherentes entre si . Si los dos haces de luz que interactúan

son incoherentes, las fases iniciales asociadas a cada onda irán cambiando aleatoriamente. Por

lo tanto, la diferencia φ1 φ2 que aparece en los términos cruzados de la ecuación 3.4 variará

aleatoriamente. Puesto que la media temporal de una fase que varía al azar es nula, los términos

cruzados de la ecuación 3.4 también serán nulos. Este problema se evita cuando la diferencia φ1φ2

es constante en el tiempo, es decir, cuando los paquetes de onda son coherentes. Esto se consigue

a partir de un único haz de luz, dividiéndolo en dos y haciendo que cada uno acumule un camino

óptico diferente. Los dos haces resultantes llegarán con un determinado desfase. Si la diferencia de

camino óptico es inferior a la longitud de coherencia, durante una fracción de tiempo se verificará

la condición φ1 φ2 = constante y los dos paquetes de onda se superpondrán parcialmente (véase

figura 3.4). Los paquetes de onda que vengan a continuación también se superpondrán. Cuanto más

largos sean los paquetes de onda y más se superpongan, los fenómenos interferenciales se observarán

con mayor facilidad.

Figura 3.4: Superposición parcial de a dos paquetes de onda

Las ondas deben tener la misma frecuencia . Si w1 y w2 son diferentes, la intensidad dependerá

del tiempo y, en este caso, la media temporal también será cero.

Los campos eléctricos deben ser paralelos . Si los campos eléctricos no son paralelos, el término

cos(θ12) actuará haciendo que los términos cruzados tengan una importancia menor respeto a los

términos constantes

___

_A

1

___

2

+

___

_A

2

___

2

. En particular, cuando las polarizaciones están en cuadratura,

60 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

los términos cruzados desaparecen. Éste es el caso que corresponde al estudio de la luz polarizada.

Si 0 < θ12 < π/2, se superpone luz polarizada a las interferencias. La visualización de fenómenos

interferenciales se optimiza cuando los campos eléctricos son estrictamente paralelos.

La ecuación 3.4 de la intensidad, se escribe ahora (se verifica la condición de coherencia, la igualdad

de frecuencias y el paralelismo de los campos)

I A21

+ A22

+ 2A1A2 cos(k_rP (_s1 _s2)). (3.5)

Se ha prescindido del carácter vectorial de los campos para escribir las amplitudes. Esto es posible ya

que se ha impuesto que los campos eléctricos deben tener todos la misma dirección. La polarización

es una información que no aporta nada a la física del problema. Los planteamientos en óptica donde

la dirección de polarización no es una información relevante conforman una parte de la óptica que

se denomina teoría escalar de la luz.

Las amplitudes de los campos deben ser iguales . Si, además, la amplitud los campos es la misma,

(A1 = A2 = A), entonces la distribución de intensidad se escribe

I 4A2 cos2

_

k_rP (_s1 _s2)

2

_

. (3.6)

Cuando se verifican las dos primeras condiciones, la figura de interferencia es estable. Si además se

asegura el paralelismo de los campos, se puede observar claramente el comportamiento interferencial.

La distribución de intensidad tiene un contraste óptimo cuando, además, las amplitudes de las dos

ondas que interaccionas son iguales.

3.2 Interferencias de Young

3.2.1 Descripción del experimento

Consideremos el experimento siguiente: dos emisores puntuales S1 y S2, coherentes entre sí, emiten ondas

esféricas con igual frecuencia y polarización: a1/r exp(ikrωt) y a2/r exp(ikrωt). Sea d la separación

entre las dos fuentes. Sea z = D el plano que contiene las dos fuentes. Consideramos un punto de

observación P situado en (x, y, 0). Supongamos, sin perder generalidad, que el índice del medio es n = 1.

La intensidad que detectaremos en este punto vendrá dada por la ecuación 3.6. Aunque las distancias

S1P y S2P son diferentes, si D es lo suficiente grande, las amplitudes de las ondas en el punto P se pueden

considerar iguales. Intentemos reescribir esta ecuación de forma que resulte más cómoda de utilizar. El

producto escalar _rP (_s1 _s2) no es más que d1 d2, donde d1 y d2 son las distancias entre las fuentes S1

y S2 respectivamente y el punto de observación P (d1, por ejemplo, es la proyección del vector _rp según

la dirección fijada por la fuente S1 y el punto P). d1 d2 es la diferencia de camino óptico Δ, mientras

que k(d1 d2) = 2π

λ (d1 d2) es la diferencia de fase. Las fuentes S1 y S2 se encuentran en los puntos

(d/2, 0,D) y (d/2, 0,D), respectivamente. Aplicando la definición de distancia, tenemos que

d1 d2 =

_

(x + d/2)2 + y2 + D2

_

(x d/2)2 + y2 + D2. (3.7)

3.2. INTERFERENCIAS DE YOUNG 61

Figura 3.5: Interferencia de dos ondas esféricas

En el experimento de Young se toma la distancia de observación D mucho más grande que la distancia

entre las fuentes d. Si se verifica esta condición d << D, entonces d1 + d2 2D y la diferencia d1 d2

puede escribirse

d1 d2 = d21

d22

d1 + d2

=

2xd

d1 + d2

xd

D

. (3.8)

y por lo tanto, la ecuación de la intensidad se escribirá

I 4Acos2

_

kxd

2D

_

= 4Acos2

_

πxd

λD

_

, (3.9)

donde A es la amplitud en el plano de observación, A = a1/d1 = a2/d2

Análisis de la figura de franjas de Young

Una vez se ha fijado la geometría (d, D) y la longitud de onda, la intensidad que se registra es sólo

una función de la variable x, I(x): por lo tanto, todos los puntos con la misma intensidad estarán

en rectas paralelas al eje y.

El perfil de la intensidad según el eje x varia como un coseno al cuadrado. Se trata de una función

que se hace máxima cuando xd/D = (m entero), y se hace cero cuando xd/D = 2m+1

2 λ. El

máximo de orden m se encontrará en la posición

62 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

xm =

D

d

, (3.10)

y la distancia entre dos máximos (interfranja) será

xm xm1 = λ

D

d

. (3.11)

3.2.2 Dispositivos por obtener franjas de Young

Existen algunos dispositivos experimentales que permiten reproducir con facilidad el experimento de

Young. Se trata de conseguir que los dos emisores puntuales sean coherentes entre sí, es decir, que la

fase aleatoria sea la misma de manera que la diferencia de camino óptico Δ sea inferior a la longitud de

coherencia lc. La única posibilidad para conseguir esto es generar imágenes geométricas de un único foco

puntual de luz.

Por ejemplo, el biprisma de Fresnel consiste en un dispositivo como el que se muestra en la figura

3.6. El ángulo α es muy peque˜no. Sí colocamos una fuente de luz a distancia a del prisma, se puede

demostrar que un observador situado al otro lado del prisma (a su derecha según la figura) verá dos

fuentes de luz (coherentes entre si) correspondientes a las imágenes geométricas de la fuente de luz

a través del biprisma.

Figura 3.6: Biprisma de Fresnel

Otra posibilidad es utilizar el espejo de Lloyd. Se trata de colocar una fuente delante de un espejo.

La imagen virtual de la fuente a través del espejo actuará como segunda fuente coherente con la

primera. Si se trata de un espejo dieléctrico, el rayo reflejado tiene un cambio de fase π adicional. Se

puede comprobar que esto implica que la figura de interferencias sea complementaria a la deducida

anteriormente: allá donde había máximos tendremos mínimos y viceversa.

3.3. DISPOSITIVOS INTEREFEROMÉTRICOS 63

Figura 3.7: Espejo de Lloyd

3.2.3 Coherencia espacial

En el apartado anterior hemos considerado que la fuente de luz original es puntual. En cambio, las

fuentes de luz reales tienen unas determinadas dimensiones. Definimos el contraste de las franjas (también

denominado factor de visibilidad, V ) como el cociente

V = IM Im

IM + Im

, (3.12)

donde IM e Im son las intensidades máxima y mínima en una distribución de interferencias. Para un

experimento de Young ideal, Im = 0, y por lo tanto, el contraste de las franjas será siempre óptimo,

V = 1. En cambio, si las amplitudes de las dos ondas que interfieren son diferentes, Im _= 0 y, en este

caso, V <1. Si no se aprecian interferencias, Im = IM, entonces V = 0.

Si la fuente de luz que ilumina el sistema no es puntual, el factor de visibilidad también puede ser inferior

a 1, incluso verificándose estrictamente las cuatro condiciones para obtener imágenes de interferencias

estables. El fenómeno de la pérdida de contraste en las franjas a consecuencia de las dimensiones de

la fuente está relacionado con el concepto de Coherencia espacial. El estudio de este fenómeno se hace

considerando que cada punto de la fuente es un emisor puntual que genera su sistema de franjas de

interferencia. Se puede demostrar que cada uno de estos emisores elementales genera un sistema de

franjas con un origen diferente (posición del máximo m = 0). La superposición de los diferentes términos

cos2 de la ecuación 3.9, con un peque˜no desplazamiento entre ellas, provoca la pérdida de contraste.

3.3 Dispositivos intereferométricos

3.3.1 Interferencias en láminas dieléctricas

Consideremos el siguiente problema: sea una lámina dieléctrica planoparalela de grosor d. Elíndice de

refracción del material es n y el medio externo a la lámina tiene un índice n = 1. Sobre esta lámina incide

una onda electromagnética plana polarizada linealmente y de amplitud a, con la dirección de propagación

que forma una ángulo _ con la dirección normal a las caras de la lámina. Al llegar a la primera cara de

64 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

la lámina, parte de la luz se refleja y parte se transmite. Las amplitudes transmitida y reflejada vienen

dadas por at y ar, donde t = t(n, n_, _) y r = r(n, n_, _) son los coeficientes de transmisión calculados

a partir de las fórmulas de Fresnel. La luz que se transmite viaja por el medio dieléctrico hasta que se

encuentra de nuevo con la superficie de separación de medios. Parte de la luz se refleja internamente y

parte se transmite al medio exterior. La luz que se refleja internamente genera, a su vez, nuevos términos

que se transmiten y reflejan. La figura 3.8 muestra los diferentes rayos y los valores de la amplitud. El

coeficiente de reflexión calculado, cuando la reflexión se produce desde un medio de índice n sobre un

material de índice n_ o al revés, tiene el mismo valor en módulo, |r| = |r_|. Esto no es válido para la

transmisión, puesto que t _= t_ (recuérdese que aquí se verifica tt_ = 1r2).

Figura 3.8: Haz de ondas emergiendo de una lámina dieléctrica

El paso siguiente en el estudio de este problema consiste en sumar todas las contribuciones de los rayos

que emergen o bien de la primera cara (luz reflejada) o bien de la segunda (luz transmitida). Todos

los rayos salen paralelos, y por lo tanto, mediante una lente convergente podemos concentrar todas las

contribuciones en un punto del plano focal de la lente. Para poder realizar la suma es necesario conocer

el desfase entre ellas y escribir así los términos de la serie. Recordemos que el desfase δ es proporcional

a la diferencia de camino óptico Δ, δ = 2π

λ Δ. Nos podemos fijar en la figura 3.9.

El camino óptico del rayo que viaja por el interior de la lámina pasa por los puntos I1, I_

1 y I2. Por lo

tanto, la diferencia de camino óptico entre la onda que pasa por el interior de la lámina y la que se refleja

directamente es:

Δ = (I1I

_

1 + I

_

1I2) I1E = 2d cos(_

_). (3.13)

Es importante observar que se resta la cantidad I1E: como se trabaja con ondas planas, a partir del

plano definido por los puntos I2 y E, el camino óptico será idéntico. Finalmente, el desfase es

δ =

4π

λ

d cos(_

_) (3.14)

3.3. DISPOSITIVOS INTEREFEROMÉTRICOS 65

Figura 3.9: Cálculo del camino óptico

Consideremos ahora todas las contribuciones que se han transmitido a través de la lámina. Los campos

se escriben de la manera siguiente:

1. E1 = att_ exp(i(wt k_r_s + δ0))

2. E2 = att_r2 exp(i(wt k_r_s + δ0 + δ))

3. E3 = att_r4 exp(i(wt k_r_s + δ0 + 2δ))

4. E4 = att_r6 exp(i(wt k_r_s + δ0 + 3δ))

5. . . .

6. En+1 = att_r2n exp(i(wt k_r_s + δ0 + )) = E1r2neinδ

δ0 hace referencia a una cierta fase constante inicial en relación al origen de coordenadas. Las diferentes

contribuciones se pueden sumar con facilidad puesto que se trata de una serie geométrica de razón r2e.

El campo total transmitido será

ET =

_

i

Ei = E1

1

1 r2e= att

_ exp(i(wt k_r_s + δ0))

1

1 r2e. (3.15)

La intensidad se obtendrá haciendo

IT = c

8π

ETE

T = c

8π

____

att

_ 1

1 r2e

____

2

. (3.16)

Calculando, y recordando que tt_ = 1r2, se obtiene finalmente que

IT = c

8π

a2

1 + 4r2

(1r2)2 sin2(δ/2)

(3.17)

66 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

Por lo que hace referencia a la luz que se refleja en la lámina, no es necesario repetir todo el cálculo. Se

debe tener en cuenta que la intensidad total de la luz incidente vale (c/8π)a2 y por lo tanto,

IR = c

8π

a2 IT = c

4π

a2 sin2(δ/2)

(1r2)2

4r2 + sin2(δ/2)

. (3.18)

Las expresiones de la intensidad transmitida y reflejada presentan máximos y mínimos cuando se verifican

las condiciones descritas en la tabla siguiente:

Caso Extremo Desfase Valoro del extremo

Luz transmitida Máximo δ = 2πm, m entero a2

Luz transmitida Mínimo δ = (2m + 1)π, m entero c

8π

a2

1+ 4r2

(1r2)2

Luz reflejada Máximo δ = (2m + 1)π, m entero c

8π

a2

1+

(1r2)2

4r2

Luz reflejada Mínimo δ = 2πm, m entero 0

Antes de continuar es necesario hacer algunos comentarios sobro como se ha hecho la deducción de la

ecuación de la intensidad en función del desfase:

No se han tenido en cuenta los efectos de la polarización, cuando es conocido que los coeficientes

de reflexión y transmisión r y t son diferentes si hacen referencia a la polarización perpendicular

o paralela. Para ángulos de incidencia peque˜nos, _ 0, r|| r. Como veremos más adelante,

los dispositivos ópticos basados en interferencias de ondas en láminas dieléctricas trabajan con

incidencias casi normales.

Además, en algunos dispositivos, como el interferómetro de Fabry-Perot, las caras del dieléctrico

están semiespejadas, o bien tienen un recubrimiento multicapa. Así se consigue un coeficiente de

reflexión próximo a la unidad y prácticamente constante para todos los ángulos de incidencia y

longitudes de onda.

El grueso de la lámina no puede ser arbitrariamente grande. Para que se produzcan interferencias es

necesario que la diferencia de caminos ópticos de los rayos que interfieran sea inferior a la longitud

de coherencia. Cuando más gruesa sea la lámina, con más dificultad se verificará esta condición.

En los dispositivos experimentales se suele trabajar con fuente extensa y, por lo tanto, _ puede

tomar un rango continuo de valores. Como resultado, se observaran anillos de intensidad constante

para cada valor de _, puesto que existe simetría de revolución alrededor de la incidencia normal.

En la figura 3.10, podemos ver la dependencia de la intensidad transmitida y reflejada en función de

δ = 2d cos(__).

La figura 3.11 muestra un espectro real de transmisión: se trata de un experimento en el cual la incidencia

es normal, cos(__) = 1. En este caso, una lámina dieléctrica es iluminada en el rango de longitudes de

onda del visible y se analiza la transmitancia de la misma, es decir, representamos I(λ) (en este caso,

n_ = n_(λ), d y r son constantes).

IT (λ) 1

1 + 4r2

(1r2)2 sin2( 2πn(λ)d

λ )

. (3.19)

3.3. DISPOSITIVOS INTEREFEROMÉTRICOS 67

Figura 3.10: Intensidad en función del desfase

En este ejemplo tenemos un dieléctrico real (la conductividad no es nula). Por lo tanto, no todos los

máximos tienen la misma altura.

Figura 3.11: Espectro real de transmisión de una lámina dieléctrica

3.3.2 Láminas antirreflejantes

Los recubrimientos antirreflejantes se utilizan para conseguir que la mayor parte de la luz incidente se

transmita y no se pierda por reflexión. Por ejemplo, en caso de incidencia normal en una interfase airevidrio,

el 4% de la energía se refleja. Así, en un sistema óptico formado por muchas lentes, las pérdidas de

luz acumuladas pueden hacer que el sistema sea inviable. En esta sección demostraremos que al recubrir

el vidrio de una lámina delgada de material dieléctrico y grosor apropiado, la energía que vuelve al primer

medio por reflexión se hace cero.

Consideremos un sistema como el que muestra la figura 3.12. Se trata de un material transparente, de

68 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

índice de refracción nv, sobre el que se ha depositado un dieléctrico de grosor d e índice n. Además,

impondremos la condición 1 < n < nv. Consideremos que la luz incide sobre el sistema con un ángulo

muy próximo a cero, _ 0. La amplitud inicial de la onda es a, y los coeficientes de reflexión y transmisión

en las interfases se encuentran indicados a la figura 3.12.

Figura 3.12: Lámina antirreflejante

En las reflexiones en las que el índice del primero medio es menor que el segundo, debe a˜nadirse +π a la

fase de la onda. Según esto, todos los rayos reflejados, incluyendo el que se refleja directamente desde el

aire sobre el medio de índice n, incorporan un factor +π a su fase. La luz reflejada será la suma de todas

las contribuciones que vuelven al primer medio. Puesto que se desea que la luz no se refleje, la suma de

todas estas contribuciones tiene que ser cero. Escribiendo los diferentes términos, igual que lo hicimos a

la ecuación 3.15:

1. E1 = ar exp(i(wt k_r_s + δ0 + π))

2. E2 = att_rv exp(i(wt k_r_s + δ0 + δ + π))

3. E3 = att_r2

vr exp(i(wt k_r_s + δ0 + 2(δ + π)))

4. E4 = att_r3

vr2 exp(i(wt k_r_s + δ0 + 3(δ + π)))

5. . . .

6. En = att_rn1

v rn2 exp(i(wt k_r_s + δ0 + (n 1)(δ + π))),

donde δ0 hace referencia a una cierta fase constante inicial en relación al origen de coordenadas y δ = 4π

λ nd

es la diferencia de fase, tal y como se ha visto a la ecuación 3.14. Si se impone que todas los términos

salgan en fase entre sí a partir del segundo rayo, se debe verificar que

4π

λ

nd + π = 2mπ. (3.20)

lo que nos da una condición para el grosor de la lámina. Si m = 1, el grosor es d = λ/4n. Con este grosor

se consigue que todas las contribuciones al campo reflejado a partir de la segunda estén en fase y todas

3.3. DISPOSITIVOS INTEREFEROMÉTRICOS 69

ellas en oposición de fase con la primera. Para sumar las diferentes contribuciones basta con comprobar

que los términos de la suma siguen una progresión geométrica de razón rrv,

ER = (ar + att

_

rv(1 + rrv + r2r2

v + . . .)) exp(i(wt k_r_s + δ0)). (3.21)

Esta suma se hace cero cuando r = rv. Recordando que r = (1n)/(1+n) y rv = (nnv)/(n+nv), se

llega a

n =

nv. (3.22)

Según esto, con una lámina de grosor λ/4n y un material adecuado es posible dise˜nar una lámina antirreflejante.

Sin embargo, este resultado ha sido deducido en condiciones de incidencia muy cercana a

la normal y para una única longitud de onda. Se puede hacer un análisis equivalente y más general utilizando

sistemas multicapas con diferentes grosores y materiales. Así, se pueden dise˜nar recubrimientos

antirreflejantes utilizables en una banda del espectro más amplio y para diferentes ángulos de incidencia.

3.3.3 El interferómetro de Fabry-Perot

El interferómetro de Fabry-Perot es un dispositivo de gran precisión utilizado en espectroscopía. Su

principal ventaja es su elevado poder resolutivo (capacidad de discriminar dos longitudes de onda muy

próximas). La física que describe este aparato es muy similar al experimento de interferencias en láminas

dieléctricas. El esquema del interferómetro es el de la figura 3.13.

Figura 3.13: El interferómetro de Fabry-Perot

Se trata de dos soportes de vidrio de caras planoparalelas enfrentados entre si una distancia d (en aire,

n = 1) que puede ser ajustable. Las caras internas están tratadas de manera que el factor de reflexión sea

próximo a la unidad, para así obtener un buen contraste. Un rayo de luz que llegue al sistema, con un

ángulo _ respeto a la normal de la cara de vidrio, se refractará en la cara anterior y posterior del vidrio e

incidirá también con ángulo _ sobre la primera cara del segundo vidrio. La luz que salga del sistema por

la cara posterior lo hará de nuevo con ángulo _.

70 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

Figura 3.14: Sistema interferencial

El interferómetro funciona de la siguiente manera: utilizamos una fuente extensa de radio Rf. Esta luz

emite unas ciertas longitudes de onda que son las que queremos conocer. La fuente se sitúa en el plano

focal de una lente colimadora de focal f_

c y, por lo tanto, los rayos salen paralelos con direcciones angulares

comprendidas entre [0, _c] respecto al eje óptico, donde tan(_c) = Rf /f_

c. Los rayos que incidan con un

ángulo _ se reflejarán múltiplemente en el interior del dispositivo y se irán transmitiendo las diferentes

contribuciones. Todos estos rayos transmitidos salen con un ángulo _. Una segunda lente de focal f_ los

focalizará en un punto de su plan focal. Esto quiere decir que en este punto se hará la suma coherente

de todos los rayos. La intensidad que tendremos en este punto, según lo que dedujo en la ecuación 3.17,

será

IT (λ, _) 1

1 + 4r2

(1r2)2 sin2( 2πd cos(_)

λ )

. (3.23)

Como que el problema presenta simetría de revolución respeto el eje óptico de la segunda lente, todos

los puntos del plano focal que se encuentren a una distancia R del eje de colimación (tan(_) = R/f_)

presentarán la misma configuración interferencial y, por lo tanto, su intensidad será la misma. Es decir,

en el plano de observación visualizaremos anillos.

Podemos determinar cuando se hace máxima la ecuación anterior. Esto pasa si sin2( 2πd cos(_)

λ ) = 0, o lo

que es el mismo, cuando se verifica

2d cos(_) = mλ m natural. (3.24)

En el centro, el orden interferencial m (m entero) con el que identificamos un anillo concreto, toma su

valor máximo (m = 2d/λ); m es cero para _ = π/2. Si la fuente de luz tiene radio Rf, existe un ángulo

máximo _c con el que los rayos pueden entrar en el sistema. Por lo tanto, m variará entre un valor

máximo en el centro y un valor mínimo en el extremo del campo iluminado.

3.3. DISPOSITIVOS INTEREFEROMÉTRICOS 71

Poder resolutivo de un interferómetro Fabry-Perot

Una de las aplicaciones más importantes del interferómetro de Fabry-Perot consiste en la determinar las

longitudes de onda en las cuales emite una fuente de luz. Además, gracias a la elevada precisión del

interferómetro, es posible determinar valores muy próximos de longitud de onda. Puesto que cada λ

genera su propio sistema de anillos independiente, se visualizan parcialmente superpuestos.

Consideramos que dos anillos se pueden distinguir (se resuelven), si en el punto medio de la distancia

entre dos máximos, el valor de la energía es inferior en mitad de la energía máxima. Tomamos una luz

mezcla de dos longitudes de onda, λ1 = λ y λ2 = λλ. Definimos el poder resolutivo como el cociente

|λ/Δλ|. Tomando el criterio de resolución anterior se puede demostrar que

____

λ

Δλ

____

= πmr

1 r2 . (3.25)

La capacidad de resolver longitudes de onda muy próximas aumenta cuando observamos el centro de la

imagen de interferencia (m grande) y cuando el factor de reflexión r es alto (tendiendo a la unidad).

3.3.4 Filtros interferenciales

El fenómeno de las interferencias en láminas delgadas puede ser utilizado para la construcción de dispositivos

de transmitancia muy selectiva con la longitud de onda. La utilización de estos dispositivos permite

obtener luz muy monocromática. Consideremos una lámina de grosor d de un material de índice n. Esta

lámina se encuentra entre dos vidrios planoparalelos que hacen de soporte. Hacemos incidir normalment

luz blanca, _ = 0. En estas condiciones, la ecuación del desfase 3.14 para los máximos se escribe,

4π

λ

nd = 2(3.26)

es decir, 2nd = . Si el factor de reflexión interno de las caras r es lo suficiente alto, los máximos de

interferencia IT (λ) (véase la figura 3.10 y la ecuación 3.19) se hacen muy estrechos, de manera que sólo

pasan las longitudes de onda que verifican la relación 2nd = . Por ejemplo, con un grosor d = 150 nm

y uníndice n = 1.7, solamente pasarán las longitudes λ = 510/m nm: 510, 255, 170, . . . . En la zona del

visible se transmite con intensidad máxima una única longitud de onda (λ = 510 nm).

3.3.5 Interferómetros de Michelson y de Mach-Zehnder

El interferómetro de Michelson

Consideremos un dispositivo óptico como el que se muestra a la figura 3.15, que utiliza una fuente de

luz extensa. Por simplicidad, consideraremos que ésta se encuentra en el plano focal objeto de una lente

colimadora. Así conseguimos luz con iluminación paralela en todas las direcciones permitidas por las dimensiones

de la fuente. Delante del sistema de iluminación se encuentra un sistema divisor de haz (lámina

semitransparente): la mitad de la energía atraviesa la lámina y la otra mitad se refleja. Puesto que la

lámina forma un ángulo de 45o respecto el plano que contiene la lente colimadora, los dos haces resultantes

salen formando entre sí un ángulo de 90o. Estos haces de luz viajan en sus respectivas direcciones

hasta llegar a los espejos, cambian de sentido y se reencuentran de nuevo en la lámina semitransparente.

72 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

Figura 3.15: El interferómetro de Michelson

Parte de la luz vuelve hacia la fuente y parte se dirige hacia un plano de observación donde se analiza la

luz.

Los espejos no tienen porque encontrarse a la misma distancia de la lámina semiespejada. Sea la la

distancia de la lámina hasta el espejo situado normalmente al brazo horizontal y lb, la distancia de

la lámina hasta el espejo dispuesto normalmente al brazo vertical. La diferencia de camino óptico es

Δ = 2(la lb) = 2d (n = 1, puesto que el dispositivo se encuentra en el aire). Si el haz de luz toma una

dirección que forma un ángulo θ con el eje de la lente colimadora, se puede comprobar que, en este caso, la

diferencia de camino óptico es Δ = 2d cos(θ). El sistema presenta simetría de revolución respeto a un eje

normal al plano de observación y, por lo tanto, en este plano se obtendrán anillos; además, como se trata

de la interferencia de dos ondas que recorren caminos ópticos diferentes, la intensidad será proporcional

a

I cos2(

2π

λ

Δ); (3.27)

y los máximos de interferencia se dispondrán siguiendo la ley siguiente:

2d cos(θ) = mλ, (3.28)

con m natural. Si consideramos justo el centro de la figura de interferencia, cos(θ) = 1 y, en consecuencia,

en el centro se verificará 2d = . Esto quiere decir que si la diferencia de caminos ópticos 2d no es

múltiplo exacto de λ, en el centro no tendremos un máximo de intensidad. Además, si la lb = 0

(diferencia de caminos ópticos es cero), entonces estamos en m = 0.

Algunos comentarios más

Desde el punto de vista histórico es necesario hacer notar que este instrumento fue utilizado en

1887 por Michelson y Morley en su intento de medir la velocidad de la luz respecto de la Tierra.

3.3. DISPOSITIVOS INTEREFEROMÉTRICOS 73

En el interferómetro de la figura 3.15 se puede observar un elemento denominado lámina compensadora.

Se trata de una lámina de material transparente que tiene exactamente el mismo grosor que

la lámina semitransparente (dst). La luz que hace el camino vertical (según la figura 3.15) atraviesa

tres veces la lámina semitransparente a˜nadiendo el factor 3nstdst al camino óptico (la lámina está

semiespejada en el lado derecho de la lámina, según el dibujo), mientras que la luz que toma la otra

dirección sólo atraviesa la lámina una vez. Para compensar este efecto y hacer que las diferencias

de camino sea atribuibles exclusivamente a la diferencia geométrica de los brazos 2(la lb) = 2d,

se incluye la lámina compensadora. Así, la luz que sigue el camino horizontal compensa el exceso

de camino óptico que se realiza siguiendo el camino vertical.

Longitud de coherencia. Para que el fenómeno interferencial sea visible, se tiene que verificar que la

diferencia de caminos ópticos 2d sea inferior a la longitud de coherencia de la luz analizada (lc). Esto

indica un método por determinar experimentalmente lc: al aumentar la diferencia 2d, el contraste

de los anillos irá disminuyendo hasta que estos desaparezcan.

Si en vez de trabajar con una fuente extensa lo hacemos con una puntual, la intensidad de la

figura de interferencia será constante. Al modificar la diferencia de longitud de los dos brazos 2d,

esta intensidad irá variando pasando por máximos cuando se verifique la relación 2d = . Esta

configuración del interferómetro de Michelson se denomina interferómetro de Twyman-Green.

El interferómetro de Mach-Zehnder

Existen otros interferómetros de doble haz. Cabe destacar el interferómetro de Mach-Zehnder, por su

amplia utilización en metrología óptica (ver figura 3.16).

Figura 3.16: El interferómetro de Mach-Zehnder

Consiste en un sistema de iluminación que genera un haz de ondas planas. Un sistema divisor del haz

hace que la luz siga dos caminos diferentes. Mediante espejos se consigue que la luz siga una trayectoria

como la que se muestra en la figura, y mediante un segundo cubo divisor de haz se suman las dos

contribuciones, que, obviamente, han seguido caminos ópticos diferentes. En el plano de observación se

analizan los resultados.

74 CAPÍTULO 3. INTERFERENCIAS

Capítulo 4

Difracción

4.1 Teoría escalar

4.1.1 Introducción a la Teoría Escalar de la Difracción

Sommerfeld definió la difracción como la propagación no rectilínea de la luz que no se puede interpretar

a partir de las leyes de la reflexión y de la refracción. Grimaldi, en el siglo XVII, fue el primero que

observó fenómenos difractivos: al hacer pasar un haz de luz a través de una abertura practicada sobre

una pantalla observó que, al proyectar el haz sobre otra pantalla, el paso de la zona iluminada a la zona

de sombra no era abrupto (como indica la propagación rectilínea). A˜nos después, Fresnel realizó el primer

intento serio de explicar los fenómenos de difracción (1818), basándose en unas modificaciones arbitrarias

del principio de Huygens. En 1882, Kirchhoff propuso la explicación de los fenómenos de difracción en

términos de la teoría escalar. Su teoría tiene inconvenientes formales de orden matemático, que fueron

solucionados por Sommerfeld en 1894, introduciendo algunas modificaciones en la teoría anterior.

La teoría escalar es suficientemente rigurosa para explicar la mayor parte de los resultados experimentales

macroscópicos. Pese a que se trata de una simplificación que no tiene en cuenta el carácter vectorial de

los campos electromagnéticos, la teoría escalar funciona con éxito cuando las aberturas son más grandes

que la longitud de onda de la luz y cuando las distancias de observación son suficientemente grandes. En

estas condiciones, la polarización del campo electromagnético no es una información relevante y, por lo

tanto, se puede prescindir del formalismo vectorial.

4.1.2 Ondas escalares. El teorema de Green

Una onda escalar perfectamente monocromática, U(_r, t) = U(_r)eiwt que se propaga en el vacío, verifica

la ecuación de ondas:

ΔU(_r, t) =

1

c2

2U(_r, t)

∂t

. (4.1)

En consecuencia, la amplitud compleja (parte espacial) U(_r) verifica la ecuación de Helmholtz:

ΔU(_r) = k2U(_r), (4.2)

_r es el vector de posición, k es el número de onda, w = 2πν, y k = 2π/λ.

75

76 CAPÍTULO 4. DIFRACCI ÓN

La formulación de la teoría escalar de la difracción se basa en el uso del teorema de Green: Sean U(P) y

G(P) dos funciones que toman valores complejos, continuas y con primera y segunda derivadas continuas

en el interior de un recinto V cerrado por la superficie S. En estas condiciones se verifica:

_

V

[GΔU UΔG] dv =

_

S

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds. (4.3)

P

S

V G=exp(ikr)/r

Figura 4.1: Teorema de Green. Geometría

En el problema que abordaremos, U será la parte espacial de la ecuación de ondas, y G, una función

auxiliar denominada función de Green. La elección de ésta, solamente está condicionada por el propio

teorema de Green; no obstante, es necesario escogerla de forma que el problema se pueda abordar con el

mínimo de complicaciones matemáticas posible. La notación

∂n hace referencia a la derivada de G o U

según la dirección normal de la superficie S. A partir de ahora, no se tendrá en cuenta la parte temporal

de la onda. Sea P V , el punto donde haremos la observación del campo. Definimos una posible función

de Green como

G = eikr

r

. (4.4)

En el punto P (r = 0) esta función no está definida. Para evitar la discontinuidad en r = 0, se excluye el

punto P del recinto V definiendo una superficie esférica S_ alrededor de P con un radio _ infinitesimal.

Así, la nueva superficie de integración S_ será S_ = S + S_ y el nuevo volumen V _, V _ = V V_; V_ es el

volumen definido por S_. La función G es una onda esférica de amplitud unidad y, por lo tanto, verifica

también la ecuación de Helmholtz: ΔG = k2G. Aplicando el Teorema de Green al nuevo recinto de

integración V’ obtenemos

_

V _

[GΔU UΔG] dv =

_

V _

_

k2GU k2UG

_

dv = 0 (4.5)

y, en consecuencia,

_

S_

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds = 0; (4.6)

además, como S_ = S + S_, entonces

4.1. TEORÍA ESCALAR 77

_

S_

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds =

_

S

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds. (4.7)

4.1.3 Teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff

La evaluación de la integral definida sobre S_ es sencilla. Se trata de calcular el límite siguiente,

lim

_0

_

S_

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds. (4.8)

Al ser S_ es una superficie esférica, las derivadas normales de la ecuación anterior pasan a ser derivadas

en la dirección radial _. La derivada normal en la superficie S_ apunta hacia P; por lo tanto,

∂n =

∂_ .

Puesto que la función G sobre la superficie S_ se puede escribir como exp(ik_)/_, la derivada es

∂G

∂n

=

_

1

_

ik

_

eik_

_

. (4.9)

El diferencial de superficie es ds = _2dΩ, donde dΩ es el diferencial de ángulo sólido. Substituyendo en

la integral,

lim

_0

_

S_

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds = lim

_0

_

S_

_

∂U

∂n

eik_

_

U

_

1

_

ik

_

eik_

_

_

_2dΩ. (4.10)

Las funciones y las derivadas presentes en la integral están acotadas y, por tanto, de los tres términos

contenidos en ella, únicamente el segundo será diferente de cero. Considerando, además, la continuidad

de U,

lim

_0

_

S_

U

1

_

eik_

_

_2dΩ = U(P)

_

S_

dΩ = 4πU(P); (4.11)

y ahora la ecuación 4.7 se escribirá

U(P) =

1

4π

_

S

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds = U(P) =

1

4π

_

S

_

∂U

∂n

eikr

r

U

∂n

_

eikr

r

__

ds, (4.12)

resultado que se conoce como el teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff.

4.1.4 Aplicación del teorema de Helmholtz-Kirchhoff a la difracción

En esta sección, se aplica el teorema integral de Helmholtz-Kirchhoff al problema de la difracción de

una onda escalar a través de una abertura contenida en una superficie plana. Consideramos la superficie

S que rodea el punto de observación P. La tomaremos subdividida en dos secciones S = S1 + S2: S1

corresponde al plano que contiene la abertura Σ y S2 es una superficie esférica centrada en P y de radio

suficientemente grande. Lo primero que debe hacerse es evaluar la integral 4.12 en la superficie S2. Al

estar trabajando con iluminación monocromática, y por lo tanto, de longitud de coherencia infinita, una

vez la onda se haya propagado a velocidad c hasta S2, la contribución de la integral sobre S2 puede no

ser despreciable. Para aclarar este aspecto, calculamos el límite siguiente,

78 CAPÍTULO 4. DIFRACCI ÓN

U(P) = lim

r

1

4π

_

S2

_

G

∂U

∂n

U

∂G

∂n

_

ds. (4.13)

La derivada en la dirección normal (radial) de G sobre S2 vale

∂G

∂n

=

_

1

r

ik

_

eikr

r

ikG, (4.14)

si r λ. Por lo tanto, la integral anterior vale

U(P) = lim

r

1

4π

_

S2

G

_

∂U

∂n

ikU

_

ds = lim

r

1

4π

_

S2

eikr

_

∂U

∂n

ikU

_

r2dΩ, (4.15)

donde ds = r2dΩ. Esta integral tiende a cero si se verifica

lim

r

_

∂U

∂n

ikU

_

= 0. (4.16)

Esta condición es cierta si U es una onda esférica, es decir, U = Aeikr/r. Dado que una onda cualquiera

puede ser expresada en términos de una combinación lineal de ondas esféricas, en la práctica este resultado

se verifica siempre. Por lo tanto, la contribución a U(P) de la integral sobre S2 puede ser despreciada.

Condiciones de contorno de Kirchhoff

Evaluemos ahora la integral sobre S1. Para ello, Kirchhoff impuso las siguientes condiciones para poder

realizar el cálculo:

1. El campo U y su derivada normal toman los mismos valores en la abertura Σ, en presencia o no de

la superficie S1.

2. Sobre la superficie S1 y fuera de Σ, U y su derivada normal valen cero. Esta condición permite

realizar la integral extendida sólo a la geometría de Σ.

S

S1

2

Σ

n

R

r

P

P2

U=A exp(ikR)/R

G=exp(ikr/r)

Figura 4.2: Geometría. Fórmula de Fresnel-Kirchhoff

4.1. TEORÍA ESCALAR 79

Fórmula de Fresnel-Kirchhoff

Para acabar, consideremos ahora la forma en que se ilumina la abertura. Concentrémonos en el caso en

que la abertura está iluminada por una onda esférica que proviene de un punto P2: AeikR

R . Las derivadas

normales a Σ de G y U valen

∂G

∂n

= cos(_n, _r)(ik 1

r

)

exp(ikr)

r

ikGcos(_n, _r) (4.17)

∂U

∂n

ikU cos(_n, _R), (4.18)

donde cos(_n, _r) y cos(_n, _R) son los cosenos de los ángulos formados por el vector normal a Σ y los vectores

posición _r y _R respectivamente. Por lo tanto la integral de difracción en este caso es

U(P) = A

2

_

Σ

exp(ik(r + R))

r + R

_

cos(_n, _r) cos(_n, _R)

_

ds, (4.19)

conocida como la fórmula de Fresnel-Kirchhoff. Esta fórmula nos da la expresión del campo escalar

difractado a través de una abertura cualquiera iluminada por una onda esférica. Esta fórmula es simétrica

respecto a la fuente o el punto de observación (teorema de reciprocidad).

Consideraciones finales sobre la Fórmula de Fresnel-Kirchhoff

1. Si la abertura es peque˜na frente a las distancias R y r, los factores cos(_n, _r) y cos(_n, _R) son

prácticamente constantes. Se denomina factor de oblicuidad a la semidiferencia (cos(_n, _r)cos(_n, _R))/2

2. Si la onda que ilumina la abertura no es esférica, es posible describir cualquier campo en términos

de ondas esféricas, pudiéndose aplicar la fórmula deducida.

3. Para ángulos peque˜nos ( distancias axiales mucho mayores que las dimensiones de la abertura), el

factor de oblicuidad se hace próximo a la unidad, ya que cos(_n, _r) 1 y cos(_n, _R) ≈ −1.

4. La expresión 4.19 se ha deducido utilizando una onda esférica Aexp(ikR)

R para iluminar la abertura.

Si la fuente de luz está en el infinito, la abertura se ilumina con una onda plana de amplitud A_:

U(P) = A_

_

Σ

A

exp(ikr))

r

ds. (4.20)

5. Si el sistema se ilumina con una onda cualquiera, cuya amplitud compleja en el plano de la abertura

Σ es U(Σ), la expresión puede generalizarse a

U(P) =

1

_

Σ

U(Σ)

exp(ikr))

r

ds. (4.21)

80 CAPÍTULO 4. DIFRACCI ÓN

4.2 Aproximaciones de la Teoria Escalar

4.2.1 Fórmula de exacta

x

y

x

y

z=0 z

U(x,y,z)

plano de difracción plano de observación

0

0

G(x,y)

U(x,y,0)

G(x,y) geometría de la abertura

U(x,y,z) campo en el plano z

U(x,y,0) campo en el plano z=0

Figura 4.3: Difracción de Fresnel

A partir de ahora fijaremos unos ejes coordenados (x0, y0) en la pantalla que contiene la abertura. El eje

z es el eje normal al plano de la abertura, que consideraremos en z = 0. Los puntos del plano normal al

eje z que contiene el punto de observación P tendrán coordenadas (x, y, z). La distancia de observación z

será mucho mayor que las distancias transversales involucradas y, por lo tanto, podemos considerar que el

factor de oblicuidad es cercano a la unidad. Escribiendo la fórmula de Fresnel-Kirchhoff en coordenadas

cartesianas tenemos

U(P) =

1

_

Σ

U(Σ)

exp(ikr)

r

=

=

1

_

Σ

U(x0, y0, 0)

exp(ik

_

((x x0)2 + (y y0)2 + z2)

_

((x x0)2 + (y y0)2 + z2)

dx0 dy0. (4.22)

4.2.2 Difracción de Fresnel

La distancia entre un punto de la abertura (x0, y0, 0) y el punto de observación P (x, y, z) es

r =

_

(x x0)2 + (y y0)2 + z2 = z

_

1 +

(x x0)2

z2 +

(y y0)2

z2 . (4.23)

Si se verifica que (xx0)2 +(yy0)2 _ z2, se puede aproximar r por z en el denominador. Sin embargo,

el término de la exponencial compleja presente en la integral varía muy rápidamente (debido al factor

2π/λ), y por lo tanto un peque˜no error en la evaluación de r, puede suponer un error muy grande en la

estimación del ángulo. Para simplificar correctamente la expresión del interior de la integral de difracción,

desarrollamos r en serie de Taylor,

4.2. APROXIMACIONES DE LA TEORIA ESCALAR 81

r = z

_

1 +

(x x0)2

z2 +

(y y0)2

z2

z

_

1 +

(x x0)2

2z2 +

(y y0)2

2z2

_

. (4.24)

Esto equivale a aproximar una superficie esférica por una superficie parabólica. La fórmula de difracción

toma ahora la forma siguiente (fórmula de difracción de Fresnel):

U(x, y, z) =

exp(ikz)

iλz

_

Σ

U(x0, y0, 0) exp( ik

2z

((x x0)2 + (y y0)2))dx0 dy0. (4.25)

Los límites de integración corresponden a abertura Σ. Puesto que el campo eléctrico es cero a fuera de

la abertura, podemos extender los límites de integración de −∞ a +, haciendo que

ψ(x, y) = U(x, y, 0)G(x, y), (4.26)

donde G(x, y) es la función que describe la geometría de Σ.

4.2.3 Difracción de Fraunhofer

Tomemos la fórmula de difracción de Fresnel:

U(x, y, z) =

exp(ikz)

iλz

_

−∞

ψ(x0, y0) exp( ik

2z

((x x0)2 + (y y0)2))dx0 dy0. (4.27)

Desarrollando los binomios ((x x0)2 + (y y0)2),

U(x, y, z) = eikz

iλz

exp( ik

2z

(x2 + y2))

_

−∞

ψ(x0, y0)e

ik

2z (x20+y2

0)e

ik

z (xx0+yy0)dx0 dy0 =

= eikz

iλz

exp( ik

2z

(x2 + y2))

_

−∞

ψ(x0, y0)e

ik

2z (x20

+y2

0)e

2πy( x

λz x0+ i

λz y0)dx0 dy0.

(4.28)

Cuando la distancia de observación z es muy grande, la exponencial exp( ik

2z (x20

+ y2

0)) en el interior de

la integral tiende a la unidad. Es necesario tener en cuenta que las dimensiones de la abertura Σ serán

peque˜nas en comparación con z, aunque esto no es necesario que se verifique en el plano de observación.

Por esta razón el término exponencial cuadrático de fuera de la integral no desaparece. Cuando se verifican

estas condiciones, decimos que trabajamos en condiciones de difracción de Fraunhofer. La integral de

difracción se escribe ahora

U(x, y, z) = eikz

iλz

e

ik

2z (x2+y2)

_

−∞

ψ(x0, y0) exp(2πi( x

λz

x0 + y

λz

y0))dx0 dy0 =

= eikz

iλz

exp( ik

2z

(x2 + y2))T Fλz[ψ(x0, y0)], (4.29)

donde T F representa el operador transformada de Fourier. La intensidad que captaría un detector en

estas condiciones es

82 CAPÍTULO 4. DIFRACCI ÓN

I(x, y, z) |T Fλz[ψ(x0, y0)]|2. (4.30)

Es decir, en condiciones de difracción de Fraunhofer, la distribución de intensidad es proporcional a la

transformada de Fourier a escala λz del campo eléctrico en el plano que contiene la abertura.

4.3 Estudio de casos particulares en aproximación de Fraunhofer

4.3.1 Onda plana a través de un objeto rectangular

Para calcular la difracción de Fraunhofer de un objeto utilizaremos la siguiente ecuación:

U(x, y, z) = eikz

iλz

e

ik

2z (x2+y2)T Fλz[ψ(x0, y0)]. (4.31)

Supongamos que el objeto es iluminado por una onda plana Aeikz. En z = 0, la onda plana es A.

Escribiremos la transformada de Fourier de una función f(x, y) como F(u, v), donde (u, v) son las frecuencias

espaciales. Es necesario recordar que la Transformada de Fourier de una abertura rectangular

de dimensiones lx × ly vale

T F

_

rect( x

lx

)rect( y

ly

)

_

= lxlysinc(lxu)sinc(lyv); (4.32)

y por lo tanto, el campo eléctrico escalar a distancia z mucho mayor que lx o ly se escribe

U(x, y, z) = A

eikz

iλz

e

ik

2z (x2+y2)T Fλz[rect( x

lx

)rect( y

ly

)] =

= A

eikz

iλz

lxlye

ik

2z (x2+y2)sinc( lxx

λz

)sinc( lyy

λz

), (4.33)

donde se han sustituido las variables (u,v) por x

λz y y

λz . La intensidad grabada por un detector será el

módulo al cuadrado de la expresión anterior,

I(x, y, z) = A2 l2x

l2

y

λ2z2 sinc2( lxx

λz

)sinc2( lyy

λz

). (4.34)

4.3.2 Onda plana a través de un objeto circular

La fórmula para calcular la difracción de Fraunhofer se puede escribir en coordenadas polares cuando el

objeto tiene simetría circular, ψ(r, θ) = ψ(r):

U(x, y, z) = eikz

iλz

e

ik

2z r2T Fλz[ψ(r0)]. (4.35)

4.3. ESTUDIO DE CASOS PARTICULARES EN APROXIMACI ÓN DE FRAUNHOFER 83

Figura 4.4: Difracción de Fraunhofer de un rectángulo cuyo lado vertical es menor que el horizontal

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 4.5: Perfil de la función que describe la intensidad de la difracción de Fraunhofer de un rectángulo

La transformada de Fourier de una función con simetría circular es

_

−∞

f(x, y)e

2πi(xu+yv) dx dy =

_ 2π

0

_

0

f(r0)e

2πirr0 cos(θ0θ)r0dr0 = F(r, θ). (4.36)

Se ha aplicado el cambio x = r0 cos θ0, y = r0 sin θ0 y u = r cos θ, v = r sin θ. Utilizando la igualdad,

J0(a) =

1

2π

_ 2π

0

e

ia cos(θφ)(4.37)

84 CAPÍTULO 4. DIFRACCI ÓN

se obtiene que

F(r) = 2π

_

0

f(r0)J0(2πrr0)r0 dr0 (4.38)

Para calcular la difracción de Fraunhofer cuando una onda plana Aeikz atraviesa una abertura circular

de radio R, circ( r

R) en z = 0, tenemos que calcular la integral anterior (f(r0) = 1 entre 0 i R). Aplicando

ahora la relación

R

a

J1(aR) =

_ R

0

J0(ar)r dr, (4.39)

se puede demostrar que

T F

_

circ( r0

R

)

_

= R

J1(2πRr)

r

; (4.40)

y, por lo tanto, el campo eléctrico escalar vale

U(x, y, z) = A

eikz

iλz

e

ik

2z (x2+y2)T Fλz[circ( r0

R

)] =

A

eikz

iλz

Re

ik

2z (r2) J1( 2πRr

λz )

r

λz

= iAReikze

ik

2z (r2) J1( 2πRr

λz )

r

, (4.41)

mientras que la intensidad,

I(r) = A2R2

r2 J2

1 (

2πRr

λz

). (4.42)

Se conoce como el radio del disco de Airy al radio del primero mínimo de la función anterior. La función

J1(πx)

πx se anula en x = 1.22 y, por lo tanto

rA = 1.22 λz

2R

. (4.43)

4.3.3 Onda plana a través de una estructura periódica unidimensional

Sea un objeto de transmitancia f(x, y) repetido periódicamente N veces, con periodo P. La función

matemática que modeliza este objeto se escribe

ψ(x, y) =

N_1

m=0

f(x mP). (4.44)

La transformada de Fourier a escala λz de la expresión anterior es

4.3. ESTUDIO DE CASOS PARTICULARES EN APROXIMACI ÓN DE FRAUNHOFER 85

Figura 4.6: Difracción de Fraunhofer de un círculo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2

Figura 4.7: Perfil de la función que describe la intensidad de la difracción de Fraunhofer de un círculo. El primer

cero de la función está en r=1.22

TFλz[ψ(x0, y0)] = F( x

λz

,

y

λz

)

_

1 + exp(2πixP

λz

) + exp(2πix(2P)

λz

) + . . . exp(2πix(n 1)P

λz

)

_

;

(4.45)

y por lo tanto, cuando una onda plana atraviesa este objeto, el campo eléctrico escalar es

U(x, y, z) = A

eikz

iλz

e

ik

2z (x2+y2)F( x

λz

,

y

λz

)

N_1

m=0

exp(2πixmP

λz

). (4.46)

86 CAPÍTULO 4. DIFRACCI ÓN

0

2

4

6

8

10

12

14

16

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 4.8: Perfil de la función que describe la intensidad de las interferencias para N=4

Los términos de la suma de la ecuación anterior siguen una progresión geométrica cuya razón es r =

exp(2πixmP

λz ). Puesto que se verifica

1 + r + r2 + r3 + . . . + rN1 =

1 rN

1 r

, (4.47)

entonces,

U(x, y, z) = A

eikz

iλz

e

ik

2z (x2+y2)F( x

λz

,

y

λz

)

1 exp(2πix(N1)P

λz )

1 exp(2πixP

λz )

. (4.48)

Puede comprobarse que

_____

1 exp(2πix(N1)P

λz )

1 exp(2πixP

λz )

_____

2

=

sin2(πNPx/λz)

sin2(πPx/λz)

; (4.49)

y por tanto, la intensidad se escribe como

I(x, y, z) A2

____

F( x

λz

,

y

λz

)

sin2(πNPx/λz)

sin2(πPx/λz)

____

. (4.50)

Algunos comentarios adicionales:

La expresión de la intensidad nos indica que la distribución de luz que detectaremos es el producto

de la difracción del objeto por un término interferencial.

4.3. ESTUDIO DE CASOS PARTICULARES EN APROXIMACI ÓN DE FRAUNHOFER 87

El numerador del término de interferencial se anula cuando se verifica que NPx = nλz donde n es

un natural. Por tanto, cuando x = nλz/NP, la intensidad se anula (pasa por un mínimo). Entre

dos mínimos tenemos un máximo secundario (véase la figura 4.8).

El denominador del término de interferencial se anula cuando se verifica que Px = nλz donde n es

un natural. Es fácil comprobar que en estos puntos donde el denominador se anula, también lo hace

el numerador. Deshaciendo la indeterminación puede comprobarse que el término interferencial

vale N2 (máximo principal) (véase la figura 4.8).

Si el número de franjas es N, entre dos máximos principales tenemos N 1 mínimos y N 2

máximos secundarios.

Si N = 2, el término interferencial se escribe

I(x, y, z) 4 cos2(πPx

λz

), (4.51)

que corresponde a la intensidad de las interferencias generadas por dos fuentes puntuales de luz

(experimento de Young).

Por ejemplo, la intensidad de la difracción de Fraunhofer que generan dos objetos cuadrados de

lado l separados una distancia P se escribe

I(x, y, z) 4A2sinc2( lx

λz

)sinc2( ly

λz

) cos2(πPx

λz

). (4.52)



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